Defina o continuidade para uma função de n variáveis reais a valores reais.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que significa dizer que uma função de n variáveis reais em valores reais é contínua. O conteúdo é Análise em R^n e vamos precisar do conceito de limite em R^n e da noção de vizinhança via norma (distância euclidiana).

Passo 2

Intuitivamente, uma função fcolon R^ntoR é contínua num ponto ainR^n se valores de entrada x suficientemente próximos de a produzem valores f(x) muito próximos de f(a). Formalizamos isso usando a definição de limite em R^n.

Passo 3

Definimos primeiro o limite de f em a. Dizemos que
limxto a f(x) = L
se, para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-a|<de<a implies |f(x)-L|<epsilon,
onde |cdot| é a norma euclidiana em R^n.

Passo 4

Com o conceito de limite em mãos, dizemos que f é contínua em a se
limxto a f(x) = f(a)
Em outras palavras, para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que
|x-a|<de<a implies |f(x)-f(a)|<epsilon
E dizemos que f é contínua em todo o seu domínio se ela for contínua em cada ponto a desse domínio.

Passo 5

Uma formulação equivalente, que às vezes é mais prática, usa sequências. Dizemos que f é contínua em a se, para toda sequência xksubsetR^n com xkto a, tivermos
f(xk);to;f(a)

Resposta

Uma função fcolon R^ntoR é contínua em um ponto ainR^n se, para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-a|<de<a implies |f(x)-f(a)|<epsilon
A função é contínua em todo o domínio se esta condição valer para cada a do domínio.

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