Defina o continuidade para uma função de n variáveis reais a valores reais.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que significa dizer que uma função de
variáveis reais em valores reais é contínua. O conteúdo é Análise em
e vamos precisar do conceito de limite em
e da noção de vizinhança via norma (distância euclidiana).
Passo 2
Intuitivamente, uma função
é contínua num ponto
se valores de entrada
suficientemente próximos de
produzem valores
muito próximos de
). Formalizamos isso usando a definição de limite em
.
Passo 3
Definimos primeiro o limite de
em
. Dizemos que
se, para todo
, existe
tal que
onde
é a norma euclidiana em
.
Passo 4
Com o conceito de limite em mãos, dizemos que
é contínua em
se
Em outras palavras, para todo
existe
tal que
E dizemos que
é contínua em todo o seu domínio se ela for contínua em cada ponto
desse domínio.
Passo 5
Uma formulação equivalente, que às vezes é mais prática, usa sequências. Dizemos que
é contínua em
se, para toda sequência
com
, tivermos
Resposta
Uma função
é contínua em um ponto
se, para todo
, existe
tal que
A função é contínua em todo o domínio se esta condição valer para cada
do domínio.