Extenda o conceito de limite para uma função de n variáveis reais a valores reais.
Passo 1
O enunciado pede para generalizar a noção de limite de uma função de uma variável real para funções de
variáveis reais com valor real. O conteúdo envolvido é a definição
de limite, agora em
. Vamos revisar primeiro a definição unidimensional e depois adaptá-la usando a norma em
.
Passo 2
Em uma variável, se
e
é ponto de acumulação de
, dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
e
, então
.
Para funções de
variáveis,
, precisamos de uma medida de “distância” entre vetores em
. Usamos a norma usual
Passo 3
A definição estendida fica:
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
e
, então
.
Note que qualquer norma equivalente em
gera a mesma definição de limite, pois normas em espaços de dimensão finita são equivalentes.
Resposta
Para
e
ponto de acumulação de
, dizemos que
se, e somente se, para todo
existe
tal que