Extenda o conceito de limite para uma função de n variáveis reais a valores reais.

Passo 1

O enunciado pede para generalizar a noção de limite de uma função de uma variável real para funções de n variáveis reais com valor real. O conteúdo envolvido é a definição varepsilon - de<a de limite, agora em R^n. Vamos revisar primeiro a definição unidimensional e depois adaptá-la usando a norma em R^n.

Passo 2

Em uma variável, se fcolon DsubsetRtoR e x0 é ponto de acumulação de D, dizemos que
limxto x0f(x)=L
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-x0|<de<a e xin D, então |f(x)-L|<varepsilon.
Para funções de n variáveis, fcolon DsubsetR^ntoR, precisamos de uma medida de “distância” entre vetores em R^n. Usamos a norma usual
|x-x0| = raiz(x1-x0,1)^2 + cdots + (xn-x0,n)^2,

Passo 3

A definição estendida fica:
limxto x0f(x)=L
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-x0|<de<a e xin D, então |f(x)-L|<varepsilon.
Note que qualquer norma equivalente em R^n gera a mesma definição de limite, pois normas em espaços de dimensão finita são equivalentes.

Resposta

Para fcolon DsubsetR^ntoR e x0 ponto de acumulação de D, dizemos que
limxto x0f(x)=L
se, e somente se, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
0<|x-x0|<de<a,;xin D Longrightarrow |f(x)-L|<varepsilon

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