Seja f dada por
f(x)=lll 1, & se & x in Q 0, & se & x in R backslash Q
Mostre que f é descontínua em todo p real.

Passo 1

O enunciado define a função de Dirichlet
f(x)= 1,&se xinQ, 0,&se xinRsetminusQ,
e pede para mostrar que f é descontínua em todo pinR. Para isso vamos usar a definição de continuidade e o fato de que racionais e irracionais são densos em R.

Passo 2

Lembrando a definição: f é contínua em p se, para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-p|<de<aLongrightarrow|f(x)-f(p)|<epsilon
Para provar que f é descontínua em p, basta encontrar algum epsilon>0 tal que, para todo de<a>0, exista x com |x-p|<de<a mas |f(x)-f(p)|>=epsilon.

Passo 3

Sabemos que Q e RsetminusQ são densos em R. Ou seja, em qualquer intervalo aberto em torno de p há números racionais e números irracionais. Vamos explorar isso com epsilon=tfrac12.

Passo 4

Caso 1: pinQ. Então f(p)=1. Se existisse de<a>0 que garantisse |f(x)-1|<tfrac12 sempre que |x-p|<de<a, estaríamos dizendo que todos os x suficientemente próximos de p teriam f(x) em (1-tfrac12,1+tfrac12)=(tfrac12,,tfrac32). Mas por densidade existe um irracional x com |x-p|<de<a e aí
|f(x)-f(p)|=|0-1|=1>=tfrac12,
contrariando a condição de continuidade.

Passo 5

Caso 2: pnotinQ. Então f(p)=0. De modo análogo, se existisse de<a>0 que garantisse |f(x)-0|<tfrac12 sempre que |x-p|<de<a, isso impediria a aproximação de p por racionais. Mas por densidade há racional x com |x-p|<de<a e
|f(x)-f(p)|=|1-0|=1>=tfrac12,
novamente violando a definição de continuidade.

Passo 6

Em ambos os casos, para epsilon=tfrac12 e qualquer de<a>0 encontramos x com |x-p|<de<a e |f(x)-f(p)|>=tfrac12. Logo f não é contínua em p. Como p era geral, concluímos que f é descontínua em todo R.

Resposta

A função f é descontínua em todo pinR.

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