Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
e pede para determinar (a) a ordem da equação e (b) se ela é linear ou não. Vamos lembrar que a ordem de uma EDO é o maior número de derivadas que aparece, e que uma EDO é linear se
e suas derivadas aparecem apenas em primeira potência, com coeficientes que são funções de
(e sem produtos entre
ou suas derivadas).
Passo 2
Para encontrar a ordem, observamos o maior índice de derivada presente. Aqui aparecem
,
e
, e o termo de ordem mais alta é
Logo, a equação é de ordem 2.
Passo 3
Para verificar a linearidade, escrevemos o lado esquerdo como um operador linear em
:
Esse operador é linear porque:
- Cada termo é proporcional a
ou às suas derivadas em primeira potência; - Os coeficientes
, e dependem apenas de ; - Não há termos como
, nem produtos entre e .
Portanto, trata-se de uma EDO linear não homogênea (o termofaz parte da não homogeneidade).
Resposta
A equação diferencial é de ordem 2 e é linear.