Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não.
x^2 y^prime prime(x)+x y^prime(x)+2 y(x)=sin (x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
x^2y''(x)+x,y'(x)+2,y(x)=sin(x)
e pede para determinar (a) a ordem da equação e (b) se ela é linear ou não. Vamos lembrar que a ordem de uma EDO é o maior número de derivadas que aparece, e que uma EDO é linear se y e suas derivadas aparecem apenas em primeira potência, com coeficientes que são funções de x (e sem produtos entre y ou suas derivadas).

Passo 2

Para encontrar a ordem, observamos o maior índice de derivada presente. Aqui aparecem y''(x), y'(x) e y(x), e o termo de ordem mais alta é
y''(x)
Logo, a equação é de ordem 2.

Passo 3

Para verificar a linearidade, escrevemos o lado esquerdo como um operador linear em y:
L[y]=x^2y''(x)+x,y'(x)+2,y(x)
Esse operador é linear porque:
  1. Cada termo é proporcional a y ou às suas derivadas em primeira potência;
  2. Os coeficientes x^2, x e 2 dependem apenas de x;
  3. Não há termos como (y')^2, sin(y) nem produtos entre y e y'.
    Portanto, trata-se de uma EDO linear não homogênea (o termo sin(x) faz parte da não homogeneidade).

Resposta

A equação diferencial é de ordem 2 e é linear.

Exercícios relacionados