Nas seguintes equações:
  • Mostre que são separáveis.
  • Resolva a equação e determine o intervalo no qual a solução está definida.
    Caso seja possível, faça um gráfico ou dê uma ideia da solução.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d t}=(1-2 x) y^{2} \y(0)=-\frac{1}{6}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=(1-2x)y^2,\quad y(0)=-\tfrac16,
e pede para mostrar que ela é separável, resolver e determinar o intervalo onde a solução existe (além de esboçar seu comportamento). Vamos usar a técnica de separação de variáveis e o condicionamento inicial para obter a solução explícita e seu domínio de validade.

Passo 2

Para ver que a equação é separável, escrevemos todos os termos em y num lado e os termos em x no outro:
\frac{dy}{dx}=(1-2x)y^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y^2}\,dy=(1-2x)\,dx.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y^2}\,dy=\int(1-2x)\,dx.
O lado esquerdo, usando \int y^{-2}dy=-y^{-1}, e o direito, usando \int(1-2x)dx=x - x^2, dão
-\frac{1}{y}=x - x^2 + C.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=-\tfrac16. Em x=0 temos
-\frac{1}{y(0)}=-\bigl(-6\bigr)=6\quad\Longrightarrow\quad 6=0-0+C\;\Rightarrow\;C=6.
Logo
-\frac{1}{y}=x - x^2 +6 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}=-\,x + x^2 -6 \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\frac{1}{x^2 - x -6}.
Para que y(x) fique bem definida e contínua, precisamos evitar zeros do denominador
x^2 - x -6=0 \;\Longrightarrow\; x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2} =\frac{1\pm5}{2} \;\Rightarrow\; x=-2,\,3.
Como a condição inicial está em x=0, o intervalo maximal que contém 0 e não atinge -2 nem 3 é
(-2,\,3).

Passo 4

No intervalo (-2,3), o denominador x^2 - x -6 é sempre negativo (ex.: em x=0 vale -6), então y(x) é negativa. Há assíntotas verticais em x=-2 e x=3. O gráfico lembra um ramo de hipérbole com mínimo local em x=\tfrac12 (onde 1-2x=0, isto é, derivada muda de sinal).

Resposta

A solução é
y(x)=\frac{1}{x^2 - x -6},
definida para
x\in(-2,\,3).

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