Nas seguintes equações:
- Mostre que são separáveis.
- Resolva a equação e determine o intervalo no qual a solução está definida.
Caso seja possível, faça um gráfico ou dê uma ideia da solução.
Caso seja possível, faça um gráfico ou dê uma ideia da solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela é separável, resolver e determinar o intervalo onde a solução existe (além de esboçar seu comportamento). Vamos usar a técnica de separação de variáveis e o condicionamento inicial para obter a solução explícita e seu domínio de validade.
Passo 2
Para ver que a equação é separável, escrevemos todos os termos em
num lado e os termos em
no outro:
Agora integramos ambos os lados:
O lado esquerdo, usando
, e o direito, usando
, dão
Passo 3
Aplicamos a condição inicial
. Em
temos
Logo
Para que
fique bem definida e contínua, precisamos evitar zeros do denominador
Como a condição inicial está em
, o intervalo maximal que contém
e não atinge
nem
é
Passo 4
No intervalo
, o denominador
é sempre negativo (ex.: em
vale
), então
é negativa. Há assíntotas verticais em
e
. O gráfico lembra um ramo de hipérbole com mínimo local em
(onde
, isto é, derivada muda de sinal).
Resposta
A solução é
definida para