Nas seguintes equações:
  • Mostre que são separáveis.
  • Resolva a equação e determine o intervalo no qual a solução está definida.
    Caso seja possível, faça um gráfico ou dê uma ideia da solução.
\frac{d N}{d t}+N=N t e^{t+2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
\frac{dN}{dt} + N = N\,t\,e^{t+2}
é separável, resolver para N(t) e determinar o intervalo de definição da solução. Trata-se de uma equação de primeira ordem e vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevemos isolando \frac{dN}{dt}. Subtraindo N de ambos os lados,
\frac{dN}{dt} = N\,t\,e^{t+2} - N = N\bigl(t\,e^{t+2}-1\bigr).
Como o lado direito é produto de função de N por função de t, separamos variáveis:
\frac{1}{N}\,dN = \bigl(t\,e^{t+2}-1\bigr)\,dt.

Passo 3

Integramos cada membro. No lado esquerdo,
\int \frac{1}{N}\,dN = \ln|N|.
No lado direito, quebramos em duas integrais:
\int \bigl(t\,e^{t+2}-1\bigr)\,dt = \int t\,e^{t+2}\,dt \;-\;\int 1\,dt.
Para a primeira, fatoramos e^2:
\int t\,e^{t+2}\,dt = e^2\int t\,e^t\,dt = e^2\bigl(t\,e^t - e^t\bigr) = e^{t+2}(t-1).
E \int 1\,dt = t. Logo
\int \bigl(t\,e^{t+2}-1\bigr)\,dt = e^{t+2}(t-1) - t + C.

Passo 4

Igualando as integrais:
\ln|N| = e^{t+2}(t-1) - t + C.
Elevando exponencialmente e definindo C_1=e^C, obtemos a solução geral
\boxed{N(t) = C_1 \exp\bigl(e^{t+2}(t-1) - t\bigr).}

Passo 5

O expoente é uma função inteira de t, sem singularidades, logo a solução está definida para todo
\boxed{t\in(-\infty,\infty).}

Passo 6

Para t\to\infty, o termo e^{t+2}(t-1) domina e N(t) cresce superexponencialmente (se C_1>0). Para t\to-\infty, esse termo tende a zero e N(t) decai. O parâmetro C_1 ajusta o valor inicial e o sinal de N.

Resposta

A equação é separável. A solução geral é
N(t) = C_1 \exp\bigl(e^{t+2}(t-1) - t\bigr),
definida para todo t\in(-\infty,\infty).
Qualitativamente, N(t) decresce para t\to-\infty e cresce superexponencialmente para t\to\infty.

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