Nas seguintes equações:
- Mostre que são separáveis.
- Resolva a equação e determine o intervalo no qual a solução está definida.
Caso seja possível, faça um gráfico ou dê uma ideia da solução.
Caso seja possível, faça um gráfico ou dê uma ideia da solução.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
é separável, resolver para
e determinar o intervalo de definição da solução. Trata-se de uma equação de primeira ordem e vamos usar separação de variáveis.
Passo 2
Reescrevemos isolando
. Subtraindo
de ambos os lados,
Como o lado direito é produto de função de
por função de
, separamos variáveis:
Passo 3
Integramos cada membro. No lado esquerdo,
No lado direito, quebramos em duas integrais:
Para a primeira, fatoramos
:
E
. Logo
Passo 4
Igualando as integrais:
Elevando exponencialmente e definindo
, obtemos a solução geral
Passo 5
O expoente é uma função inteira de
, sem singularidades, logo a solução está definida para todo
Passo 6
Para
, o termo
domina e
cresce superexponencialmente (se
). Para
, esse termo tende a zero e
decai. O parâmetro
ajusta o valor inicial e o sinal de
.
Resposta
A equação é separável. A solução geral é
definida para todo
.
Qualitativamente, decresce para
e cresce superexponencialmente para
.
Qualitativamente,