Defina:
a) Espaço amostral.
b) Modelo probabilístico.

Passo 1

O enunciado pede duas definições curtas e claras:
a) Definir o que é o espaço amostral.
b) Definir o que é um modelo probabilístico.
Informações relevantes implícitas: você precisa entender termos como “resultado possível”, “evento” e os objetos básicos usados para construir um modelo de probabilidade (conjuntos de resultados, família de eventos, função que atribui probabilidades).

Passo 2

Vamos começar pelo básico: o que é um resultado e um evento.
  • Um resultado (ou ponto amostral) é uma descrição completa de um possível desfecho de um experimento aleatório (por exemplo, “cara” ao lançar uma moeda, ou “5” ao lançar um dado). Vou denotar um resultado por \omega.
  • Um evento é uma coleção (conjunto) de resultados que interessa observar (por exemplo, “sair número par” quando lanço um dado). Eventos são subconjuntos do conjunto de todos os resultados possíveis.

Passo 3

Agora a definição do espaço amostral, explicada passo a passo.
  • O espaço amostral é justamente o conjunto que reúne todos os resultados possíveis. Em símbolos, chama-se \Omega.
  • Exemplos concretos:
    • Para um lançamento de moeda: \Omega=\{\text{C},\text{K}\} — aqui escrevo “C” e “K” como abreviação para cara e coroa; em TeX: \Omega=\{C,K\}.
    • Para um dado honesto de seis faces: \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.
    • Para escolher um número real entre 0 e 1: \Omega=[0,1].
  • Observação prática para prova: sempre comece identificando \Omega antes de tentar calcular qualquer probabilidade.

Passo 4

O que é um modelo probabilístico — visão geral antes da formalidade.
  • Um modelo probabilístico é a estrutura que nos permite atribuir números (probabilidades) aos eventos e usar isso para responder perguntas do tipo “qual a chance de…?”.
  • Na forma usada em teoria das probabilidades, um modelo é composto por três peças fundamentais: o espaço de resultados, a coleção de eventos que podemos medir, e uma regra que dá uma probabilidade a cada evento. Essas três peças juntas formam o modelo.

Passo 5

Agora a definição formal do modelo probabilístico com explicação de cada componente.
  • Formalmente, um modelo probabilístico é o triplo (\Omega,\mathcal{F},P), onde:
    • \Omega é o espaço amostral (conjunto de todos os resultados possíveis).
    • \mathcal{F} é uma família de subconjuntos de \Omega (cada subconjunto é um evento) com propriedades de fechamento importantes: contém o conjunto vazio \varnothing, se um conjunto A está em \mathcal{F} então seu complemento A^c também está em \mathcal{F}, e \mathcal{F} é fechada para uniões contáveis (ou seja, se A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F} então \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}). Essa \mathcal{F} costuma ser chamada de σ-álgebra.
    • P é uma função P:\mathcal{F}\to[0,1] que atribui a cada evento A\in\mathcal{F} um número P(A) (a probabilidade de A) e satisfaz os axiomas:
      • Não negatividade: P(A)\ge 0 para todo A\in\mathcal{F}.
      • Normalização: P(\Omega)=1.
      • Aditividade contável: se A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F} são dois a dois disjuntos então P\Big(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\Big)=\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n).

Passo 6

Intuição e exemplos passo a passo para fixar a ideia.
  • Espaço finito (fácil para prova): se \Omega é finito, o mais simples é tomar \mathcal{F}=2^{\Omega} (toda a potência, isto é, todos os subconjuntos de \Omega são eventos) e definir P atribuindo a cada ponto \omega\in\Omega uma probabilidade p(\omega)\ge0 com \sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)=1. A probabilidade de um evento A\subset\Omega é P(A)=\sum_{\omega\in A} p(\omega).Exemplo: moeda justa: \Omega=\{C,K\}, p\text{(C)}=p(K)=\tfrac12. Então P(\{C\})=\tfrac12.
  • Espaço contínuo (nozes da teoria, mas ideia simples): para \Omega=[0,1] podemos escolher \mathcal{F} como a σ-álgebra de Borell (conjuntos “bem comportados”) e P como a medida de comprimento. Assim a probabilidade de um intervalo [0,\tfrac14] é \tfrac14. Não precisa decorar “σ-álgebra de Borell” para questões básicas; basta entender que precisamos de uma coleção de eventos grande suficiente e um jeito consistente de medir seu tamanho.

Passo 7

Propriedades úteis no dia da prova e como usar essas definições em respostas curtas.
  • Para qualquer evento A, você sempre pode usar: 0\le P(A)\le 1.
  • Complemento: P(A^c)=1-P(A).
  • União de dois eventos (fórmula de inclusão-exclusão): P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
  • Se \Omega for finito ou enumerável, pense em atribuir probabilidades aos pontos e somar. Se \Omega for um intervalo, pense em “comprimento” ou densidade (em provas de introdução, frequentemente o enunciado dá a densidade).

Passo 8

Dicas de redação curta para a prova (o que o professor espera ver):
  • Para (a) escreva em uma linha: “espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis, denotado por \Omega.”
  • Para (b) escreva o triplo (\Omega,\mathcal{F},P) e explique em poucas palavras o que é cada componente e os axiomas principais de P. Isso já costuma valer a resposta completa. Bom trabalho — você consegue!

Resposta

a) Espaço amostral: o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, denotado por \Omega.
b) Modelo probabilístico: o triplo (\Omega,\mathcal{F},P), onde \Omega é o espaço amostral, \mathcal{F} é uma σ-álgebra de subconjuntos de \Omega (a família dos eventos) e P:\mathcal{F}\to[0,1] é uma medida de probabilidade satisfa-zendo P(\Omega)=1 e aditividade contável.

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