Um lote contém 10 peças, sendo 7 boas (B) e 3 defeituosas (D). Retiramos duas peças, ao acaso e com reposição, para inspeção.
a) Construa o modelo probabilístico.
b) Qual a probabilidade de se obter duas peças defeituosas?

Passo 1

O enunciado: um lote tem 10 peças, sendo 7 boas (B) e 3 defeituosas (D). Retiramos duas peças ao acaso com reposição.
Perguntas:
(a) construir o modelo probabilístico (ou seja, o espaço amostral e as probabilidades de cada resultado das duas retiradas);
(b) qual a probabilidade de obter duas peças defeituosas?
Informações relevantes dadas: 7 peças boas, 3 defeituosas, seleção aleatória com reposição, duas retiradas.

Passo 2

Probabilidades em uma única retirada (explicando devagar): como a escolha é aleatória e todas as peças são igualmente prováveis, a probabilidade de tirar uma peça defeituosa em uma retirada é a razão entre o número de defeituosas e o total. Logo,
P(D)=\frac{3}{10}
e, pelo mesmo raciocínio,
P(B)=\frac{7}{10}.
Essas são as probabilidades de cada evento na única retirada.

Passo 3

Por que podemos multiplicar as probabilidades nas duas retiradas? Porque a amostra é com reposição: após a primeira retirada devolvemos a peça ao lote, então a situação da segunda retirada é idêntica à primeira. Isso torna os eventos “resultado da 1ª retirada” e “resultado da 2ª retirada” independentes. A regra da probabilidade para eventos independentes diz que a probabilidade da ocorrência conjunta é o produto das probabilidades individuais:
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\cdot P(B).

Passo 4

Montando o espaço amostral das duas retiradas (ordem importa porque as retiradas são sequenciais):
S=\{(B,B),(B,D),(D,B),(D,D)\}.
Agora calculamos a probabilidade de cada resultado usando a independência e a regra do produto:
P(B,B)=P(B)\cdot P(B)=\frac{7}{10}\cdot\frac{7}{10}=\frac{49}{100},
P(B,D)=P(B)\cdot P(D)=\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{10}=\frac{21}{100},
P(D,B)=P(D)\cdot P(B)=\frac{3}{10}\cdot\frac{7}{10}=\frac{21}{100},
P(D,D)=P(D)\cdot P(D)=\frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10}=\frac{9}{100}.
Cheque rápido (para ficar seguro): 49/100+21/100+21/100+9/100=100/100=1, ótimo — soma 1.

Passo 5

Resposta à pergunta (b) com interpretação: a probabilidade de obter duas defeituosas é exatamente a probabilidade do resultado (D,D), que calculamos acima:
P(\text{duas defeituosas})=P(D,D)=\frac{9}{100}=0,09.
Alternativa rápida (mesma ideia, outro ponto de vista): modelando o número de defeituosas em duas retiradas como \text{Binomial}(n=2,p=\tfrac{3}{10}), temos
P(X=2)=\binom{2}{2}\left(\frac{3}{10}\right)^2=\frac{9}{100},
mesma resposta.

Resposta

(a) S=\{(B,B),(B,D),(D,B),(D,D)\} com P(B,B)=\tfrac{49}{100}, P(B,D)=\tfrac{21}{100}, P(D,B)=\tfrac{21}{100}, P(D,D)=\tfrac{9}{100}.\n(b) P(\text{duas defeituosas})=\tfrac{9}{100}=0,09.

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