Defina T: wp(2) R^2 por T(p)=(p(0), p(1)). Por exemplo, se p(t)=3+5 t+7 t^2, então T(p)=(3,15).
Descreva a imagem de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:wp(2)toR^2, T(p)=(p(0),,p(1)),
onde wp(2) é o espaço dos polinômios de grau até 2. Nosso objetivo é caracterizar
Im(T)=T(p)mid pinwp(2)subseteqR^2

Passo 2

Seja um polinômio genérico
p(t)=a + b,t + c,t^2,
com a,b,cinR. Então
p(0)=a, p(1)=a + b + c
Logo
T(p) = l(p(0),,p(1)r) = l(a,;a+b+cr)

Passo 3

Definindo (x,y)=T(p), temos
x = a, y = a + b + c Longrightarrow y - x = b + c
Como b e c são quaisquer em R, a soma b+c pode ser qualquer número real. Assim
Im(T) =l(x,y)inR^2 mid y-xinRr =R^2

Passo 4

Para ver construtivamente que todo (x,y)inR^2 está na imagem, basta escolher, por exemplo,
p(t)=x + (y - x),t,
que é um polinômio de grau <=2 e satisfaz
p(0)=x, p(1)=x + (y-x)=y,
logo T(p)=(x,y).

Resposta

Im(T)=R^2.

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