Defina T: wp(2) R^2 por T(p)=(p(0), p(1)). Por exemplo, se p(t)=3+5 t+7 t^2, então T(p)=(3,15).
Determine um polinômio p in wp(2) que gere o núcleo de T;

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T:wp(2)toR^2, T(p)=(p(0),,p(1))
e pede um polinômio não nulo que gere o núcleo de T. Vamos usar a condição de nulidade em 0 e 1 para caracterizar ker T.

Passo 2

Seja um polinômio genérico de grau <=2
p(t)=a,t^2+b,t+c
Para p estar no núcleo de T, precisamos de
p(0)=0, p(1)=0

Passo 3

Da condição p(0)=0 vem
c=0
Da condição p(1)=0 vem
a+b+c=0Longrightarrow a+b=0Longrightarrow b=-a

Passo 4

Substituindo b=-a e c=0 em p(t) obtemos
p(t)=a,t^2 - a,t = a,t,(t-1)
Logo
ker T=,a,t(t-1)mid ainR
é subespaço unidimensional gerado por t(t-1).

Resposta

Um polinômio que gera o núcleo de T é
p(t)=t,(t-1)

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