Seja
, e considere a transformação linear
T: M2 times 2(R) M2 times 2(R) tal que
T(X)=X B .
T é um isomorfismo?
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e a transformação linear
Queremos saber se
T é um isomorfismo, isto é, se é bijetora (equivalente a ser injetora, pois o espaço tem dimensão finita).
Passo 2
Para checar injetividade, calculamos o núcleo de
T :
seja
seja
Então
Para
X estar no núcleo, precisamos de
X,B=0 , ou seja
mas
x12,x22 são livres. Logo
o que implica que
T não é injetora e, portanto, não é um isomorfismo.