Seja B=(ll1 & 1 0 & 0), e considere a transformação linear T: M2 times 2(R) M2 times 2(R) tal que T(X)=X B.
T é um isomorfismo?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = 1 & 1 0 & 0
e a transformação linear
T: M2times2(R) to M2times2(R), T(X) = X,B
Queremos saber se T é um isomorfismo, isto é, se é bijetora (equivalente a ser injetora, pois o espaço tem dimensão finita).

Passo 2

Para checar injetividade, calculamos o núcleo de T:
seja
X = x11 & x12 x21 & x22
Então
X,B = x11cdot1 + x12cdot0 & x11cdot1 + x12cdot0 x21cdot1 + x22cdot0 & x21cdot1 + x22cdot0 = x11 & x11 x21 & x21
Para X estar no núcleo, precisamos de X,B=0, ou seja
x11=0, x21=0,
mas x12,x22 são livres. Logo
dimker T = 2 > 0,
o que implica que T não é injetora e, portanto, não é um isomorfismo.

Resposta

T não é um isomorfismo.

Exercícios relacionados