Seja A=[cccca11 & a12 & cdots & a1 n a21 & a22 & cdots & a2 n vdots & vdots & ddots & vdots an 1 & an 2 & cdots & an n], uma matriz quadrada de ordem n. O traço de A, denotado por tr(A), é definido como sendo o número real
tr(A)=sumk=1^n ak k=a11+a22+ldots+an n
ou seja, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal de A.
Dadas A e B matrizes quadradas de ordem n, valem as seguintes propriedades:
(a) tr(A+B)=tr(A)+tr(B);
(c) tr(A^T)=tr(A);
(b) tr(k A)=k tr(A), onde k in R;
(d) tr(A B)=tr(B A).
Usando algumas destas propriedades verifique que não existem A e B, matrizes quadradas de ordem n, tais que A B-B A=I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre traço de matrizes, que é a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada. Vamos precisar entender algumas propriedades do traço para mostrar que não existem matrizes quadradas A e B de ordem n que satisfaçam a equação AB - BA = I , onde I é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a função traço na equação dada. Ou seja, vamos calcular tr(AB - BA) . Lembrando que o traço é linear, podemos distribuir:
tr(AB - BA) = tr(AB) - tr(BA)

Passo 3

Agora, usamos uma das propriedades do traço que diz que tr(AB) = tr(BA) . Isso significa que:
tr(AB) - tr(BA) = 0
Então, temos:
tr(AB - BA) = 0

Passo 4

Por outro lado, sabemos que AB - BA = I . Então, vamos calcular o traço de ambos os lados dessa igualdade:
tr(AB - BA) = tr(I)
Já vimos que o lado esquerdo é zero, então:
0 = tr(I)

Passo 5

Mas o traço da matriz identidade I de ordem n é a soma dos seus elementos diagonais, que são todos 1. Então:
tr(I) = 1 + 1 + ldots + 1 = n
Portanto, chegamos a:
0 = n

Resposta

Isso é um absurdo, pois n é um número positivo. Logo, não existem matrizes quadradas A e B de ordem n que satisfazem AB - BA = I .

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