Seja T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(z, x+y). Determinar a matriz de T em relação as bases beta e gamma, onde beta=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) e gamma é a base canônica do R^2.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (z,;x+y),
queremos encontrar a matriz de T relativa à base do domínio
beta = v1=(1,1,1),,v2=(1,1,0),,v3=(1,0,0)
e à base canônica do contradomínio
gamma = e1=(1,0),,e2=(0,1).

Passo 2

Calculamos a imagem de cada vetor de beta pela definição de T:
T(v1)=T(1,1,1)=(1,;1+1)=(1,2),
T(v2)=T(1,1,0)=(0,;1+1)=(0,2),
T(v3)=T(1,0,0)=(0,;1+0)=(0,1)

Passo 3

Como gamma é a base canônica de R^2, as coordenadas de cada imagem são exatamente os próprios vetores obtidos:
[T(v1)]gamma = 12, [T(v2)]gamma = 02, [T(v3)]gamma = 01

Passo 4

Montamos a matriz de T juntando essas colunas na ordem de beta:
[T]beta^gamma = 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1

Resposta

[T]beta^gamma = 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1

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