2- (0,7) Mostre que um ponto aderente a um conjunto X, que não pertence a X, é um ponto de acumulação de X :

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre: se um ponto x é aderente a um conjunto X e x\notin X, então x é ponto de acumulação de X.
Conteúdo: definimos em espaço métrico (por ex. \mathbb{R} com a distância usual)
  • x é ponto aderente de X se, para todo \varepsilon>0,
B(x,\varepsilon)\cap X\neq\emptyset.
  • x é ponto de acumulação de X se, para todo \varepsilon>0,
\bigl(B(x,\varepsilon)\setminus\{x\}\bigr)\cap X\neq\emptyset.
Vamos usar a aderência e o fato de x\notin X para garantir o segundo.

Passo 2

Pela hipótese de aderência, para cada \varepsilon>0 existe ao menos um ponto
y\in B(x,\varepsilon)\cap X.
Isto é,
|y-x|<\varepsilon \quad\text{e}\quad y\in X.

Passo 3

Como x\notin X, o ponto y encontrado em B(x,\varepsilon)\cap X não pode ser x. Logo
y\in \bigl(B(x,\varepsilon)\setminus\{x\}\bigr)\cap X.
Isto vale para todo \varepsilon>0, exatamente a definição de ponto de acumulação.

Resposta

Qualquer ponto aderente x\notin X satisfaz para todo \varepsilon>0
\bigl(B(x,\varepsilon)\setminus\{x\}\bigr)\cap X\neq\emptyset,
ou seja, é ponto de acumulação de X.

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