4- (0,6) Responda, justificando:
Qual é o conjunto que representa a união dos intervalos A_{x}= \left(\frac{x}{2}, x\right) com x percorrendo o intervalo (0,1) ?

Passo 1

O enunciado pede para achar
\bigcup_{x\in(0,1)} A_x \quad\text{onde}\quad A_x = \Bigl(\frac{x}{2},\,x\Bigr).
O conteúdo é união de intervalos dependentes de um parâmetro x. Para resolver, vamos usar a definição
\bigcup_{x\in(0,1)} A_x = \{\,y\in\mathbb{R}: \exists\,x\in(0,1)\text{ com }\tfrac{x}{2}<y<x\}.

Passo 2

Traduzimos a condição \tfrac{x}{2}<y<x em termos de y. São duas desigualdades simultâneas:
\tfrac{x}{2}<y \quad\Longleftrightarrow\quad x<2y,
e
y<x.
Logo, fixado y, existe x\in(0,1) tal que \tfrac{x}{2}<y<x se, e só se, houver x\in(0,1) em
(y,\,2y).

Passo 3

Para que (y,2y)\cap(0,1)\neq\varnothing, precisamos de
\max\{0,y\}<\min\{1,2y\}.
Analise em dois casos:
  • Se y\le\tfrac12, então \min\{1,2y\}=2y e \max\{0,y\}=y. A condição vira
    y<2y,
    que vale para todo y>0.
  • Se \tfrac12<y<1, então \min\{1,2y\}=1 e \max\{0,y\}=y. A condição vira
    y<1,
    que vale pois y<1.
Se y\le0 ou y\ge1, não há interseção não vazia.

Passo 4

Concluímos que a condição “existe x\in(0,1) com \tfrac{x}{2}<y<x” é exatamente
0<y<1.
Portanto
\bigcup_{x\in(0,1)}\Bigl(\tfrac{x}{2},x\Bigr) =(0,1).

Resposta

(0,1)

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