Defina e dê um exemplo:
de uma relação de equivalência.
de uma relação de equivalência.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é uma relação de equivalência e depois apresentarmos um exemplo concreto. O conteúdo envolve teoria de relações em conjuntos e as três propriedades que caracterizam uma relação de equivalência: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Seja
um conjunto e
uma relação em
. Dizemos que
é uma relação de equivalência se satisfaz simultaneamente:
— Reflexividade: para todo tem
.
— Simetria: para todo , se
então
.
— Transitividade: para todo , se
e
então
.
— Reflexividade: para todo
— Simetria: para todo
— Transitividade: para todo
Passo 3
Um exemplo clássico é a congruência módulo
em
. Definimos
isto é,
. Verificações:
— Reflexiva: é múltiplo de
, logo
.
— Simétrica: se então
, logo
.
— Transitiva: se e
então
— Reflexiva:
— Simétrica: se
— Transitiva: se
é múltiplo de
, logo
.
Portanto, a congruência módulo
é uma relação de equivalência em
.
Resposta
Uma relação de equivalência em um conjunto
é uma relação
que é reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo: em , a congruência módulo
Exemplo: em
é uma relação de equivalência.