Defina e dê um exemplo:
de uma relação de equivalência.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma relação de equivalência e depois apresentarmos um exemplo concreto. O conteúdo envolve teoria de relações em conjuntos e as três propriedades que caracterizam uma relação de equivalência: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Seja A um conjunto e Rsubseteq Atimes A uma relação em A. Dizemos que R é uma relação de equivalência se satisfaz simultaneamente:
— Reflexividade: para todo xin A tem (x,x)in R.
— Simetria: para todo x,yin A, se (x,y)in R então (y,x)in R.
— Transitividade: para todo x,y,zin A, se (x,y)in R e (y,z)in R então (x,z)in R.

Passo 3

Um exemplo clássico é a congruência módulo n em Z. Definimos
R = (a,b)inZtimesZmid nmid (a-b),
isto é, aequiv bpmodn. Verificações:
— Reflexiva: a-a=0 é múltiplo de n, logo (a,a)in R.
— Simétrica: se nmid(a-b) então nmid(b-a), logo (b,a)in R.
— Transitiva: se nmid(a-b) e nmid(b-c) então
a-c=(a-b)+(b-c)
é múltiplo de n, logo (a,c)in R.
Portanto, a congruência módulo n é uma relação de equivalência em Z.

Resposta

Uma relação de equivalência em um conjunto A é uma relação Rsubseteq Atimes A que é reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo: em Z, a congruência módulo n
aequiv bpmodnLeftrightarrow nmid(a-b)
é uma relação de equivalência.

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