Sejam
conjuntos e
definida por:
se
, e
se
. Determine condições necessárias e suficientes para
ser
Bijetora.
Bijetora.
Passo 1
O enunciado define um conjunto
com
Vamos usar as definições de injetividade (elementos distintos têm imagens distintas) e sobrejetividade (toda valor em e
.
Passo 2
Para
fB ser sobrejetora, é preciso que
0 e
1 apareçam como valores de saída. Logo
Portanto a sobrejetividade exige
Passo 3
Para
fB ser injetora, não pode haver dois
xneq y com
fB(x)=fB(y) . Em particular:
- Se existissem dois
emxneq y , teríamosB , violando injetividade. LogofB(x)=fB(y)=1 .lvert Brvert<=1 - Se existissem dois
emxneq y , teríamosAsetminus B , violando injetividade. LogofB(x)=fB(y)=0 .lvert Asetminus Brvert<=1
Passo 4
Juntando as exigências:
- Sobrejetividade dá
elvert Brvert>=1 .lvert Asetminus Brvert>=1 - Injetividade dá
elvert Brvert<=1 .lvert Asetminus Brvert<=1
Logo
o que implica
lvert Arvert=2 .
Resposta
A função
fB é bijetora se, e somente se,
A tiver exatamente dois elementos e
B for um subconjunto próprio com exatamente um elemento.