Sejam B subseteq A conjuntos e fB: A 0,1 definida por: fB(x)=0 se x notin B, e fB(x)=1 se x in B. Determine condições necessárias e suficientes para fB ser
Bijetora.

Passo 1

O enunciado define um conjunto
com
Vamos usar as definições de injetividade (elementos distintos têm imagens distintas) e sobrejetividade (toda valor em e .

Passo 2

Para fB ser sobrejetora, é preciso que 0 e 1 apareçam como valores de saída. Logo
1inIm(fB)iff Bneqvarnothing,
0inIm(fB)iff Asetminus Bneqvarnothing
Portanto a sobrejetividade exige
Bneqvarnothing e Bneq A

Passo 3

Para fB ser injetora, não pode haver dois xneq y com fB(x)=fB(y). Em particular:
  • Se existissem dois xneq y em B, teríamos fB(x)=fB(y)=1, violando injetividade. Logo lvert Brvert<=1.
  • Se existissem dois xneq y em Asetminus B, teríamos fB(x)=fB(y)=0, violando injetividade. Logo lvert Asetminus Brvert<=1.

Passo 4

Juntando as exigências:
  • Sobrejetividade dá lvert Brvert>=1 e lvert Asetminus Brvert>=1.
  • Injetividade dá lvert Brvert<=1 e lvert Asetminus Brvert<=1.
Logo
lvert Brvert=1 e lvert Asetminus Brvert=1,
o que implica lvert Arvert=2.

Resposta

A função fB é bijetora se, e somente se, A tiver exatamente dois elementos e B for um subconjunto próprio com exatamente um elemento.

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