Sejam B subseteq A conjuntos e fB: A 0,1 definida por: fB(x)=0 se x notin B, e fB(x)=1 se x in B. Determine condições necessárias e suficientes para fB ser
Sobrejetora.

Passo 1

O enunciado define [B\subseteq A) e a função por:
Pede-se condição necessária e suficiente para (f_{B}] ser sobrejetora.

Passo 2

Por definição, fB é sobrejetora se e somente se
Im(fB)=0,1,
isto é, para cada yin0,1 existe xin A tal que fB(x)=y.

Passo 3

Para y=1 precisamos de algum xin A com fB(x)=1. Isso ocorre exatamente quando existe xin B. Logo é necessário e suficiente que
Bneqemptyset

Passo 4

Para y=0 precisamos de algum xin A com fB(x)=0. Isso equivale à existência de xnotin B, ou seja, que
Asetminus Bneqemptyset

Passo 5

Concluímos que fB é sobrejetora exatamente se
Bneqemptyset e Asetminus Bneqemptyset,
o que equivale a
emptysetneq Bneq A

Resposta

A função fB é sobrejetora se, e somente se, emptysetneq Bneq A.

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