Por meio de uma rotação de um ângulo theta, reescreva as equações das cônicas abaixo no sistema de coordenadas u V.
(a) C: x^2-2 x y+y^2-4=0 e theta=pi4.

Passo 1

O enunciado pede para, via rotação de eixos de ângulo theta, reescrever a cônica
x^2-2xy+y^2-4=0
num novo sistema de coordenadas (u,V). O conteúdo é a técnica de eliminação do termo misto xy por rotação de eixos. Vamos usar a fórmula de mudança de variáveis
x = ucostheta - Vsintheta, y = usintheta + Vcostheta
com theta=tfracpi4.

Passo 2

Substituímos costheta=sintheta=tfrac1raiz2 em
x = u - Vraiz2, y = u + Vraiz2

Passo 3

Calculamos cada parte da equação original:
x^2+y^2 =(u - V)^2+(u + V)^22 =2u^2+2V^22 = u^2+V^2,
-2xy =-2cdot(u - V)(u + V)2 =-(u^2-V^2)

Passo 4

Somando tudo na equação x^2-2xy+y^2-4=0
(u^2+V^2) - (u^2-V^2) - 4 = 0 ;Longrightarrow; 2V^2-4=0 ;Longrightarrow; V^2=2

Resposta

V^2=2

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