Defina e dê um exemplo:
de uma relação de ordem parcial (que não é total) e total.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos dois tipos de relações de ordem em um conjunto:
  1. uma ordem parcial que não seja total, e
  2. uma ordem total (também chamada de ordem linear).
    O conteúdo é teoria de relações parciais e ordens, e precisamos usar as definições de reflexividade, antissimetria, transitividade e, no caso da ordem total, a propriedade de comparabilidade.

Passo 2

Definimos relação de ordem parcial em um conjunto A como uma relação Rsubseteq Atimes A que satisfaz, para todo x,y,zin A:
  1. Reflexividade: forall xin A,;x,R,x.
  2. Antissimetria: l(x,R,y;wed>=;y,R,xr)implies x=y.
  3. Transitividade: l(x,R,y;wed>=;y,R,zr)implies x,R,z.
    Se existir pelo menos um par (x,y) com xneq y tal que nem x,R,y nem y,R,x valem, dizemos que a ordem não é total.
    Exemplo: seja
A = P(1,2) = varnothing,1,2,1,2
e defina forall X,Yin A,;X,R,Yiff Xsubseteq Y.
Então R é reflexiva, antissimétrica e transitiva, mas 1 e 2 são incomparáveis ( 1notsubseteq2 e 2notsubseteq1), logo não é total.

Passo 3

Definimos relação de ordem total (ou linear) como uma relação de ordem parcial que, além de satisfazer reflexividade, antissimetria e transitividade, também satisfaz a comparabilidade:
forall x,yin A,;x,R,y;lor;y,R,x
Isto é, quaisquer dois elementos são comparáveis.
Exemplo clássico: no conjunto dos inteiros Z$, tomar a relação “ <=” define uma ordem total, pois para quaisquer a,binZ sempre vale a<= b ou b<= a.

Resposta

Relação de ordem parcial (não total):
Definição: relação Rsubseteq Atimes A que é reflexiva, antissimétrica e transitiva, mas existe pelo menos um par (x,y) com xneq y não comparável.
Exemplo: l(P(1,2),,subseteqr).
Relação de ordem total:
Definição: relação de ordem parcial que também satisfaz comparabilidade ( forall x,y, xRy ou yRx).
Exemplo: l(Z,,<=r).

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