Defina e dê um exemplo:
de uma relação que é de equivalência e de ordem ao mesmo tempo.
de uma relação que é de equivalência e de ordem ao mesmo tempo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre uma relação que seja simultaneamente uma relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e uma relação de ordem (reflexiva, antissimétrica e transitiva). Ou seja, queremos uma
que satisfaça as quatro propriedades juntas.
Passo 2
Vamos lembrar as definições:
é equivalência se, para todo
:
.
(reflexiva)
.
(simétrica)
.
(transitiva)
Repare que, para satisfazer ao mesmo tempo simetria e antissimetria, devemos ter
Juntando os dois: sempre que
e
ocorre, forçamos
. Mas pela simetria,
já traz
, logo
só pode acontecer se
.
Passo 3
Concluímos que a única forma de ter uma relação com essas quatro propriedades é não relacionar elementos distintos. Em outras palavras, a relação só pode conter pares da forma
. Esse é exatamente o caso da relação identidade ou igualdade em
.
Passo 4
Como exemplo, seja um conjunto qualquer
. Definimos
Isso significa que
se, e somente se,
. É claro que:
- é reflexiva porque cada
está relacionado consigo mesmo; - é simétrica porque, se
, então ; - é antissimétrica porque, se
e , segue ; - é transitiva porque, se
e , então .
Resposta
Um exemplo de relação que é simultaneamente equivalência e ordem é a relação identidade em
:
ou seja, a própria igualdade em qualquer conjunto
.