Defina e dê um exemplo:
de uma relação que é de equivalência e de ordem ao mesmo tempo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre uma relação que seja simultaneamente uma relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e uma relação de ordem (reflexiva, antissimétrica e transitiva). Ou seja, queremos uma Rsubseteq Atimes A que satisfaça as quatro propriedades juntas.

Passo 2

Vamos lembrar as definições:
bul<=t R é equivalência se, para todo x,yin A:
1. xRx (reflexiva)
2. xRyimplies yRx (simétrica)
3. xRyland yRzimplies xRz (transitiva)
bul<=t R é ordem (parcial) se, para todo x,yin A:
1. xRx (reflexiva)
2. xRyland yRximplies x=y (antissimétrica)
3. xRyland yRzimplies xRz (transitiva)
Repare que, para satisfazer ao mesmo tempo simetria e antissimetria, devemos ter
xRyimplies yRxe(xRyland yRx)implies x=y
Juntando os dois: sempre que xRy e yRx ocorre, forçamos x=y. Mas pela simetria, xRy já traz yRx, logo xRy só pode acontecer se x=y.

Passo 3

Concluímos que a única forma de ter uma relação com essas quatro propriedades é não relacionar elementos distintos. Em outras palavras, a relação só pode conter pares da forma (x,x). Esse é exatamente o caso da relação identidade ou igualdade em A.

Passo 4

Como exemplo, seja um conjunto qualquer A. Definimos
R = (x,x)mid xin A
Isso significa que xRy se, e somente se, x=y. É claro que:
  • é reflexiva porque cada x está relacionado consigo mesmo;
  • é simétrica porque, se x=y, então y=x;
  • é antissimétrica porque, se xRy e yRx, segue x=y;
  • é transitiva porque, se x=y e y=z, então x=z.

Resposta

Um exemplo de relação que é simultaneamente equivalência e ordem é a relação identidade em A:
R = (x,x)mid xin A,
ou seja, a própria igualdade em qualquer conjunto A.

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