Obtenha a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas: 25 x^2-4 y^2+40 y=0

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
25x^2 - 4y^2 + 40y = 0
Devemos colocar em forma reduzida, encontrando centro, vértices, focos, excentricidade e assíntotas. Para isso vamos agrupar termos em y e completar quadrados.

Passo 2

Agrupando em y:
25x^2 -4l(y^2-10yr)=0
Dentro do parêntese completamos o quadrado:
y^2-10y = (y-5)^2-25
Logo,
25x^2 -4l((y-5)^2-25r)=0 Longrightarrow 25x^2 -4(y-5)^2 +100 =0

Passo 3

Passando o 100 para o outro lado:
25x^2 -4(y-5)^2 = -100 Longrightarrow 4(y-5)^2 - 25x^2 = 100
Dividindo tudo por 100, obtemos a forma padrão:
(y-5)^225 ;-;x^24 ;=;1

Passo 4

Da forma
(y-k)^2a^2 - (x-h)^2b^2 = 1
vemos que o centro é (h,k)=(0,5), com
a^2=25, b^2=4, a=5, b=2
Os vértices, que ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo y, são
(0,,5pm5) ;Rightarrow; (0,10) e (0,0)

Passo 5

Para os focos usamos c^2=a^2+b^2=25+4=29, logo
c=raiz29
Os focos estão em
(0,,5pmraiz29)
A excentricidade é
e=ca=raiz295

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole com eixo vertical são dadas por
y-k = pmab,(x-h)
Aqui k=5, h=0 e ab=52, então
y-5 = pm52,x Long<=ftrightarrow y = 5 pm 52,x

Resposta

A equação reduzida é
(y-5)^225 ;-;x^24 = 1
Centro: (0,5).
Vértices: (0,10) e (0,0).
Focos: l(0,,5+raiz29r) e l(0,,5-raiz29r).
Excentricidade: e=raiz295.
Assíntotas:
y-5 = pm52,x

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