Defina e dê um exemplo com sua respectiva prova de:
Dependência e independência linear.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos os conceitos de dependência e independência linear em espaços vetoriais e, para cada caso, apresentar um exemplo concreto acompanhado da prova de que ele satisfaz a definição.

Passo 2

Definição de independência linear: um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} de um espaço vetorial V diz-se independente se, sempre que
\alpha_1\,v_1 + \alpha_2\,v_2 + \cdots + \alpha_k\,v_k = 0,
com escalares \alpha_i, isso só ocorre quando
\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0.
Exemplo: em \mathbb{R}^2, considere
v_1 = (1,0),\quad v_2 = (0,1).
Prova de independência: suponha
\alpha\,v_1 + \beta\,v_2 = (0,0).
Então
\alpha\,(1,0) + \beta\,(0,1) = (\alpha,\beta) = (0,0),
o que força \alpha=0 e \beta=0. Como não há combinação não trivial, \{v_1,v_2\} é independente linearmente.

Passo 3

Definição de dependência linear: um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} de um espaço vetorial V diz-se dependente se existem escalares não todos nulos \alpha_1,\dots,\alpha_k tais que
\alpha_1\,v_1 + \alpha_2\,v_2 + \cdots + \alpha_k\,v_k = 0.
Exemplo: em \mathbb{R}^2, tome
w_1 = (1,2),\quad w_2 = (2,4).
Prova de dependência: note que
2\,w_1 + (-1)\,w_2 = 2\,(1,2) -1\,(2,4) = (2,4)-(2,4) = (0,0),
e aqui os escalares 2 e -1 não são ambos zero. Logo \{w_1,w_2\} é linearmente dependente.

Resposta

Independência linear: conjunto \{v_1,\dots,v_k\}\subset V tal que a única combinação \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k=0 é trivial \alpha_i=0.
Exemplo: em \mathbb{R}^2, \{(1,0),(0,1)\} é independente, pois de \alpha(1,0)+\beta(0,1)=(0,0) segue \alpha=\beta=0.
Dependência linear: conjunto \{v_1,\dots,v_k\}\subset V que admite combinação não trivial \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k=0 com algum \alpha_i\neq0.
Exemplo: em \mathbb{R}^2, \{(1,2),(2,4)\} é dependente porque \;2\,(1,2)-1\,(2,4)=(0,0) com escalares não todos nulos.

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