Defina e dê um exemplo com sua respectiva prova de:
Dependência e independência linear.
Dependência e independência linear.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos os conceitos de dependência e independência linear em espaços vetoriais e, para cada caso, apresentar um exemplo concreto acompanhado da prova de que ele satisfaz a definição.
Passo 2
Definição de independência linear: um conjunto de vetores
de um espaço vetorial
diz-se independente se, sempre que
com escalares
, isso só ocorre quando
Exemplo: em
, considere
Prova de independência: suponha
Então
o que força
e
. Como não há combinação não trivial,
é independente linearmente.
Passo 3
Definição de dependência linear: um conjunto de vetores
de um espaço vetorial
diz-se dependente se existem escalares não todos nulos
tais que
Exemplo: em
, tome
Prova de dependência: note que
e aqui os escalares
e
não são ambos zero. Logo
é linearmente dependente.
Resposta
Independência linear: conjunto
tal que a única combinação
é trivial
.
Exemplo: em ,
é independente, pois de
segue
.
Exemplo: em
Dependência linear: conjunto
que admite combinação não trivial
com algum
.
Exemplo: em ,
é dependente porque
com escalares não todos nulos.
Exemplo: em