Defina e dê um exemplo com sua respectiva prova de:
Espaço gerado por um conjunto de vetores.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o espaço gerado por um conjunto de vetores (também chamado de span) e apresentarmos um exemplo concreto com a prova de que aquele exemplo realmente coincide com o span. O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente subespaços e combinações lineares.
Passo 2
Definição. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo \mathbb{K}$ e seja \(S=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\}\subseteq V. O espaço gerado por S, denotado \mathrm{Span}(S) ou \langle S\rangle, é o conjunto de todas as combinações lineares de vetores de S:
que é outra combinação linear de v_{i}, logo x+y\in\mathrm{Span}(S).
3. (Fechamento em escalar) Se x=\sum\alpha_{i}v_{i}\in\mathrm{Span}(S) e \lambda\in\mathbb{K}, então
\lambda x =\lambda\sum\alpha_{i}v_{i} =\sum(\lambda\alpha_{i})v_{i}
que também é combinação linear de v_{i}, logo \lambda x\in\mathrm{Span}(S).
Esses três itens garantem que \mathrm{Span}(S) é de fato um subespaço de V.)
Passo 3
Minimalidade de \mathrm{Span}(S). Se W\subseteq V é qualquer subespaço que contém S, então como W é fechado para combinação linear, ele deve conter todas as combinações \sum\alpha_{i}v_{i}. Logo \mathrm{Span}(S)\subseteq W. Isso mostra que \mathrm{Span}(S) é o menor subespaço de V que contém S.