Defina e dê um exemplo com sua respectiva prova de:
Espaço gerado por um conjunto de vetores.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o espaço gerado por um conjunto de vetores (também chamado de span) e apresentarmos um exemplo concreto com a prova de que aquele exemplo realmente coincide com o span. O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente subespaços e combinações lineares.

Passo 2

Definição. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo \mathbb{K}$ e seja \(S=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\}\subseteq V. O espaço gerado por S, denotado \mathrm{Span}(S) ou \langle S\rangle, é o conjunto de todas as combinações lineares de vetores de S:
\mathrm{Span}(S) =\bigl\{\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{k}v_{k} \;\bigm|\;\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\in\mathbb{K}\bigr\}.
Prova de que \mathrm{Span}(S) é subespaço de V:
  1. (Vetor zero) Tomando todos os coeficientes \alpha_{i}=0, temos o vetor nulo 0=\sum 0\cdot v_{i}\in\mathrm{Span}(S).
  2. (Fechamento em soma) Se x=\sum\alpha_{i}v_{i} e y=\sum\beta_{i}v_{i} estão em \mathrm{Span}(S), então
x+y =\sum\alpha_{i}v_{i}+\sum\beta_{i}v_{i} =\sum(\alpha_{i}+\beta_{i})v_{i}
que é outra combinação linear de v_{i}, logo x+y\in\mathrm{Span}(S).
3. (Fechamento em escalar) Se x=\sum\alpha_{i}v_{i}\in\mathrm{Span}(S) e \lambda\in\mathbb{K}, então
\lambda x =\lambda\sum\alpha_{i}v_{i} =\sum(\lambda\alpha_{i})v_{i}
que também é combinação linear de v_{i}, logo \lambda x\in\mathrm{Span}(S).
Esses três itens garantem que \mathrm{Span}(S) é de fato um subespaço de V.)

Passo 3

Minimalidade de \mathrm{Span}(S). Se W\subseteq V é qualquer subespaço que contém S, então como W é fechado para combinação linear, ele deve conter todas as combinações \sum\alpha_{i}v_{i}. Logo \mathrm{Span}(S)\subseteq W. Isso mostra que \mathrm{Span}(S) é o menor subespaço de V que contém S.

Passo 4

Exemplo concreto em \mathbb{R}^3. Seja
S=\{(1,0,1),(0,1,1)\}\subseteq\mathbb{R}^3.
Então
\mathrm{Span}(S) =\bigl\{a\,(1,0,1)+b\,(0,1,1)\mid a,b\in\mathbb{R}\bigr\} =\bigl\{(a,b,a+b)\mid a,b\in\mathbb{R}\bigr\}.
Prova de que esse conjunto é o plano z=x+y:
  1. Se (x,y,z)\in\mathrm{Span}(S), então existem a,b tais que (x,y,z)=(a,b,a+b). Daí z=a+b=x+y, ou seja, todo vetor do span satisfaz z=x+y.
  2. Reciprocamente, se (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 satisfaz z=x+y, basta tomar a=x e b=y para escrever
(x,y,z)=(x,y,x+y) =x\,(1,0,1)+y\,(0,1,1),
portanto (x,y,z)\in\mathrm{Span}(S).
Isso mostra que
\mathrm{Span}(S) =\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=x+y\},
um plano que passa pela origem. Além disso, já sabemos por Passo 3 que esse conjunto é um subespaço de \mathbb{R}^3.

Resposta

Definimos o espaço gerado de S=\{v_{1},\dots,v_{k}\} por
\mathrm{Span}(S) =\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}v_{i}\;\Bigm|\;\alpha_{i}\in\mathbb{K}\Bigr\},
e provamos que é subespaço de V e o menor que contém S. No exemplo S=\{(1,0,1),(0,1,1)\}\subseteq\mathbb{R}^3, mostramos que
\mathrm{Span}(S) =\{(x,y,z)\mid z=x+y\},
prova feita ao exibir a correspondência a=x, b=y.

Exercícios relacionados