Seja \mathrm{P}(\mathrm{z})=\mathrm{z}^{3}-(4+3 \mathrm{i}) \mathrm{z}^{2}+(1+9 \mathrm{i}) \mathrm{z}+2-6 \mathrm{i}, (z pertencente ao conjunto \mathbb{C} dos complexos).
1- Calcular \mathrm{P}(1), calcular \mathrm{P}(2 \mathrm{i}).

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(z)=z^{3}-(4+3i)z^{2}+(1+9i)z+2-6i
e pede os valores de P(1) e de P(2i). Para isso vamos substituir z por esses números complexos e agrupar as partes real e imaginária.

Passo 2

Para calcular P(1), fazemos
P(1)=1^{3}-(4+3i)\,1^{2}+(1+9i)\,1+2-6i.
Agora simplificamos termo a termo:
1^{3}=1,\quad (4+3i)\,1^{2}=4+3i,\quad (1+9i)\,1=1+9i.
Logo
P(1)=1-(4+3i)+(1+9i)+(2-6i).
Agrupando parte real e imaginária:
parte real: 1-4+1+2=0,
parte imaginária: -3i+9i-6i=0.
Portanto
P(1)=0.

Passo 3

Para calcular P(2i), começamos por
z=2i\implies z^{2}=(2i)^{2}=-4,\quad z^{3}=(2i)^{3}=8i^{3}=-8i.
Substituindo em P(z):
P(2i)=(-8i)\;-\;(4+3i)(-4)\;+\;(1+9i)(2i)+(2-6i).
Calculando cada produto:
-(4+3i)(-4)=16+12i, \qquad (1+9i)(2i)=2i+18i^{2}=2i-18.
Então
P(2i)=-8i+(16+12i)+(-18+2i)+(2-6i).
Agrupando parte real e imaginária:
parte real: 16-18+2=0,
parte imaginária: -8i+12i+2i-6i=0.
Logo
P(2i)=0.

Resposta

P(1)=0 P(2i)=0

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