Definimos z=-\sqrt{2+\sqrt{2}}+i \sqrt{2-\sqrt{2}}.
1- A forma algébrica de z^{2} é:
a. 2 \sqrt{2}
b. 2 \sqrt{2}-2 \mathrm{i} \sqrt{2}
c. 2+\sqrt{2}+\mathrm{i}(2-\sqrt{2})
d. 2 \sqrt{2}+2 \mathrm{i} \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado define
z = -\sqrt{2+\sqrt{2}} \;+\; i\,\sqrt{2-\sqrt{2}}
e pede a forma algébrica de z^2.
Para isso vamos usar a fórmula de potência de número complexo: se z = a + i b, então
z^2 = (a^2 - b^2) \;+\; i\,(2ab).

Passo 2

Identificamos
a = -\sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad b = \sqrt{2-\sqrt{2}}.
Calculamos as potências para a parte real:
a^2 = 2+\sqrt{2}, \quad b^2 = 2-\sqrt{2}
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a^2 - b^2 = (2+\sqrt{2}) - (2-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}.

Passo 3

Agora a parte imaginária, 2ab:
2ab = 2 \,\bigl(-\sqrt{2+\sqrt{2}}\bigr)\,\sqrt{2-\sqrt{2}} = -2\,\sqrt{\,(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})\,} = -2\,\sqrt{4 - 2} = -2\sqrt{2}.

Passo 4

Somando as partes real e imaginária,
z^2 = 2\sqrt{2} \;+\; i\bigl(-2\sqrt{2}\bigr) = 2\sqrt{2} \;-\; 2\sqrt{2}\,i.
Comparando com as alternativas, corresponde à letra (b).

Resposta

b. 2\sqrt{2}-2\,i\sqrt{2}

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