Defina e dê um exemplo com sua respectiva prova de:
Subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede que a gente defina o que é um subespaço vetorial e, em seguida, apresente um exemplo concreto com sua prova. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e, para resolver, vamos usar a definição de subespaço (fechamento em soma e multiplicação escalar e presença do vetor zero).

Passo 2

Um subconjunto W de um espaço vetorial V sobre um corpo \mathbb{K} é chamado de subespaço vetorial de V se, e somente se, as três propriedades abaixo forem satisfeitas simultaneamente:
1. O vetor zero de V pertence a W, ou seja, 0\in W.
2. Sempre que u e v estão em W, a soma u+v também está em W.
3. Sempre que u\in W e \alpha\in\mathbb{K}, o produto escalar \alpha u está em W.

Passo 3

Vamos escolher como exemplo o conjunto
W = \{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}
que é um subconjunto de V=\mathbb{R}^3.

Passo 4

Prova de que 0\in W: o vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Como a terceira coordenada é 0, temos (0,0,0)\in W.

Passo 5

Prova de fechamento em soma: tomemos dois vetores genéricos em W, digamos (x_1,y_1,0) e (x_2,y_2,0). Então
(x_1,y_1,0) + (x_2,y_2,0) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;0+0) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;0),
cuja terceira coordenada é 0, logo o resultado pertence a W.

Passo 6

Prova de fechamento em multiplicação escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e (x,y,0)\in W. Então
\alpha\,(x,y,0) = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha\cdot 0) = (\alpha x,\;\alpha y,\;0),
cuja terceira coordenada continua 0, então \alpha(x,y,0)\in W.

Resposta

Definição: um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial quando contém o vetor zero de V, é fechado sob soma de vetores e fechado sob multiplicação escalar.
Exemplo:
W = \{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}\subseteq\mathbb{R}^3
e a prova mostra que 0\in W, que a soma de dois elementos de W fica em W e que escalar um elemento de W também resulta em vetor com terceira coordenada igual a 0, logo W é subespaço de \mathbb{R}^3.

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