Defina e dê um exemplo com sua respectiva prova de:
Subespaço vetorial.
Subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede que a gente defina o que é um subespaço vetorial e, em seguida, apresente um exemplo concreto com sua prova. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e, para resolver, vamos usar a definição de subespaço (fechamento em soma e multiplicação escalar e presença do vetor zero).
Passo 2
Um subconjunto
de um espaço vetorial
sobre um corpo
é chamado de subespaço vetorial de
se, e somente se, as três propriedades abaixo forem satisfeitas simultaneamente:
1. O vetor zero de pertence a
, ou seja,
.
2. Sempre que e
estão em
, a soma
também está em
.
3. Sempre que e
, o produto escalar
está em
.
1. O vetor zero de
2. Sempre que
3. Sempre que
Passo 3
Vamos escolher como exemplo o conjunto
que é um subconjunto de
.
Passo 4
Prova de que
: o vetor zero em
é
. Como a terceira coordenada é
, temos
.
Passo 5
Prova de fechamento em soma: tomemos dois vetores genéricos em
, digamos
e
. Então
cuja terceira coordenada é
, logo o resultado pertence a
.
Passo 6
Prova de fechamento em multiplicação escalar: seja
e
. Então
cuja terceira coordenada continua
, então
.
Resposta
Definição: um subconjunto
é subespaço vetorial quando contém o vetor zero de
, é fechado sob soma de vetores e fechado sob multiplicação escalar.
Exemplo:
Exemplo:
e a prova mostra que
, que a soma de dois elementos de
fica em
e que escalar um elemento de
também resulta em vetor com terceira coordenada igual a 0, logo
é subespaço de
.