( 2,5 pontos) Achar um conjunto de geradores linearmente independente do \mathbb{k}-espaço vetorial \mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{k}):=\left\{A \in \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{k}): \operatorname{tr}(A)=0\right\}, onde \operatorname{tr}(X) denota o traço da matrix X.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um conjunto de geradores linearmente independente (ou seja, uma base) do espaço vetorial \mathfrak{sl}_2(\mathbb{k}) = \{A\in \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{k}) : \mathrm{tr}(A)=0\}.
Para isso vamos:
Descrever a forma geral de uma matriz de traço zero em \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{k}).
Mostrar que esse espaço tem dimensão 3.
Exibir três matrizes que geram o espaço e são linearmente independentes.
Passo 2
Uma matriz genérica em \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{k}) é
\begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix}.
A condição \mathrm{tr}(A)=0 impõe a+d=0, ou seja d=-a. Logo toda A\in \mathfrak{sl}_2(\mathbb{k}) tem a forma
A = \begin{pmatrix} a & b\\\ c & -a \end{pmatrix},
com a,b,c\in \mathbb{k}. Daí já vemos que o espaço é isomorfo a \mathbb{k}^3, logo dimensão 3.
Passo 3
Para gerar todo \mathfrak{sl}_2(\mathbb{k}) podemos escolher três matrizes cujas combinações lineares dão exatamente \begin{pmatrix}a&b\c&-a\end{pmatrix}. Uma escolha padrão é
H = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},\quad E = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad F = \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}.
De fato, tomando escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{k}, temos
\alpha H + \beta E + \gamma F = \begin{pmatrix}\alpha&0\\\ 0&-\alpha\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&\beta\\\ 0&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&0\\gamma&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & \beta\\\ \gamma & -\alpha\end{pmatrix},
que é exatamente a forma geral de uma matriz de traço zero. Portanto \{H,E,F\} gera \mathfrak{sl}_2(\mathbb{k}).
Passo 4
Para ver que são linearmente independentes, suponha
x\,H + y\,E + z\,F = 0_{2\times2}.
Escrevendo em componentes:
\begin{pmatrix} x & y\\\ z & -x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
Comparando entradas obtemos x=0, y=0 e z=0. Logo não há combinação linear não trivial que dê a matriz zero, o que prova a independência linear.
Resposta
Uma base (conjunto de geradores linearmente independente) de \mathfrak{sl}_2(\mathbb{k})𝕜 é
\{H, E, F\} \quad\text{com}\quad H = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}, \;E = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}, \;F = \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}.