(2,5 pontos) Sejam \vec{u}=(1,2,-1), \vec{v}=(1,1,0) e w=(2,3,-1) vetores em \mathbb{R}^{3}.
(a) (0,5 pontos) \vec{u}, \vec{v} são L.D. ou L.I?
(b) (0,5 pontos) \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são L.D. ou L.I?
(c) (0,5 pontos ) \mathrm{Se} \vec{z}=(0,0,1), mostre que \vec{u}, \vec{v}, \vec{z} são L.I.
(d) (1,0 pontos) Mostre que \operatorname{Span}_{\mathbb{R}}\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{z}\}=\mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2,-1), \vec{v}=(1,1,0), \vec{w}=(2,3,-1) e \vec{z}=(0,0,1) em \mathbb{R}^3.
Precisamos usar o conceito de combinação linear para verificar dependência ou independência linear (L.D. ou L.I.) e, por fim, mostrar que três vetores L.I. em \mathbb{R}^3 geram todo o espaço \operatorname{Span}=\mathbb{R}^3.
Passo 2
(a) Para \vec{u},\vec{v}\) consideramos a combinação
\[\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}=(0,0,0).
Da primeira vem \beta=-\alpha\]. Substituindo na segunda, \(2\alpha-\alpha=\alpha=0 e \beta=0. Da terceira segue \gamma=\alpha=0. Só há solução trivial, logo \vec{u},\vec{v},\vec{z} são L.I.
Passo 5
(d) Três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3 formam uma base desse espaço. Logo
a) \vec{u},\vec{v} são L.I.
b) \vec{u},\vec{v},\vec{w} são L.D.
c) \vec{u},\vec{v},\vec{z} são L.I.
d) \operatorname{Span}_{\mathbb{R}}\{\vec{u},\vec{v},\vec{z}\}=\mathbb{R}^3.