(2,5 pontos) Sejam \vec{u}=(1,2,-1), \vec{v}=(1,1,0) e w=(2,3,-1) vetores em \mathbb{R}^{3}.
(a) (0,5 pontos) \vec{u}, \vec{v} são L.D. ou L.I?
(b) (0,5 pontos) \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são L.D. ou L.I?
(c) (0,5 pontos ) \mathrm{Se} \vec{z}=(0,0,1), mostre que \vec{u}, \vec{v}, \vec{z} são L.I.
(d) (1,0 pontos) Mostre que \operatorname{Span}_{\mathbb{R}}\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{z}\}=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2,-1), \vec{v}=(1,1,0), \vec{w}=(2,3,-1) e \vec{z}=(0,0,1) em \mathbb{R}^3.
Precisamos usar o conceito de combinação linear para verificar dependência ou independência linear (L.D. ou L.I.) e, por fim, mostrar que três vetores L.I. em \mathbb{R}^3 geram todo o espaço \operatorname{Span}=\mathbb{R}^3.

Passo 2

(a) Para \vec{u},\vec{v}\) consideramos a combinação \[\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}=(0,0,0).
Isso equivale ao sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\\\ 2\alpha+\beta=0,\\\\ -\,\alpha+0\beta=0. \end{cases}
Da primeira equação \beta=-\alpha\]. Substituindo na segunda, \(2\alpha-\alpha=\alpha=0; daí \beta=0. A terceira dá -\alpha=0, consistente.
Como a única solução é trivial \alpha=\beta=0, concluímos que \vec{u},\vec{v} são L.I.

Passo 3

(b) Para \vec{u},\vec{v},\vec{w} basta observar que
\vec{u}+\vec{v}=(1,2,-1)+(1,1,0)=(2,3,-1)=\vec{w}.
Logo há combinação não trivial \vec{w}-\vec{u}-\vec{v}=\vec{0}, o que mostra dependência linear. Portanto \vec{u},\vec{v},\vec{w} são L.D.

Passo 4

(c) Para \vec{u},\vec{v},\vec{z}\) montamos \[\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}+\gamma\,\vec{z}=(0,0,0)
que dá o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\\\ 2\alpha+\beta=0,\\\\ -\,\alpha+\gamma=0. \end{cases}
Da primeira vem \beta=-\alpha\]. Substituindo na segunda, \(2\alpha-\alpha=\alpha=0 e \beta=0. Da terceira segue \gamma=\alpha=0. Só há solução trivial, logo \vec{u},\vec{v},\vec{z} são L.I.

Passo 5

(d) Três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3 formam uma base desse espaço. Logo
\operatorname{Span}_{\mathbb{R}}\{\vec{u},\vec{v},\vec{z}\}=\mathbb{R}^3.

Resposta

a) \vec{u},\vec{v} são L.I.
b) \vec{u},\vec{v},\vec{w} são L.D.
c) \vec{u},\vec{v},\vec{z} são L.I.
d) \operatorname{Span}_{\mathbb{R}}\{\vec{u},\vec{v},\vec{z}\}=\mathbb{R}^3.

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