- Defina e explique o teste da primeira derivada para cálculo de máximos e mínimos locais.
Passo 1
O enunciado pede para definir e explicar o teste da primeira derivada usado em cálculo diferencial para identificar pontos de máximo e mínimo locais de uma função. O conteúdo envolve derivadas, pontos críticos e análise de sinal de
. Para isso, precisaremos:
- saber o que é um ponto crítico de
; - entender como o sinal de
indica crescimento ou decrescimento de ; - aplicar essas ideias para classificar extremos locais.
Passo 2
Um ponto crítico de uma função
é um ponto
no domínio de
tal que
ou
não está definida em
, mas
é definida num entorno de
. Esses são os únicos candidatos a extremos locais.
Passo 3
O teste da primeira derivada consiste em examinar como o sinal de
muda quando atravessamos o ponto crítico
:
– Se em valores um pouco menores que
temos
(função crescente) e em valores um pouco maiores que
temos
(função decrescente), então
cresce até
e depois decresce. Logo,
é um máximo local.
– Se em valores um pouco menores que
temos
(função decrescente) e em valores um pouco maiores que
temos
(função crescente), então
decresce até
e depois cresce. Logo,
é um mínimo local.
– Se não houver mudança de sinal de
em
, então
não tem extremo local ali (pode ser ponto de inflexão).
Passo 4
Para aplicar na prática, fazemos assim:
- Calculamos a derivada
. - Resolvemos
e anotamos também os pontos onde é indefinida, obtendo todos os pontos críticos. - Montamos um quadro de sinais de
nos intervalos determinados por esses pontos críticos. - Em cada ponto crítico, observamos se há mudança de sinal de
conforme descrito no passo anterior, e assim classificamos se é máximo, mínimo ou nenhum extremo.
Resposta
O teste da primeira derivada afirma que, num ponto crítico
,