1. Defina e explique o teste da primeira derivada para cálculo de máximos e mínimos locais.

Passo 1

O enunciado pede para definir e explicar o teste da primeira derivada usado em cálculo diferencial para identificar pontos de máximo e mínimo locais de uma função. O conteúdo envolve derivadas, pontos críticos e análise de sinal de f'. Para isso, precisaremos:
  • saber o que é um ponto crítico de f;
  • entender como o sinal de f' indica crescimento ou decrescimento de f;
  • aplicar essas ideias para classificar extremos locais.

Passo 2

Um ponto crítico de uma função f é um ponto x_c no domínio de f tal que
f'(x_c)=0
ou f' não está definida em x_c, mas f é definida num entorno de x_c. Esses são os únicos candidatos a extremos locais.

Passo 3

O teste da primeira derivada consiste em examinar como o sinal de f'(x) muda quando atravessamos o ponto crítico x_c:
– Se em valores um pouco menores que x_c temos f'(x)>0 (função crescente) e em valores um pouco maiores que x_c temos f'(x)<0 (função decrescente), então f cresce até x_c e depois decresce. Logo, x_c é um máximo local.
– Se em valores um pouco menores que x_c temos f'(x)<0 (função decrescente) e em valores um pouco maiores que x_c temos f'(x)>0 (função crescente), então f decresce até x_c e depois cresce. Logo, x_c é um mínimo local.
– Se não houver mudança de sinal de f' em x_c, então f não tem extremo local ali (pode ser ponto de inflexão).

Passo 4

Para aplicar na prática, fazemos assim:
  1. Calculamos a derivada f'(x).
  2. Resolvemos f'(x)=0 e anotamos também os pontos onde f' é indefinida, obtendo todos os pontos críticos.
  3. Montamos um quadro de sinais de f'(x) nos intervalos determinados por esses pontos críticos.
  4. Em cada ponto crítico, observamos se há mudança de sinal de f' conforme descrito no passo anterior, e assim classificamos se é máximo, mínimo ou nenhum extremo.

Resposta

O teste da primeira derivada afirma que, num ponto crítico x_c,
\begin{cases} \text{se }f'(x)\text{ muda de }+\text{ para }- \text{ em }x_c,\text{ então }f\text{ tem máximo local em }x_c,\\\ \text{se }f'(x)\text{ muda de }-\text{ para }+ \text{ em }x_c,\text{ então }f\text{ tem mínimo local em }x_c,\\\ \text{se não há mudança de sinal, não há extremo local em }x_c. \end{cases}ãáãíãáçãá

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