Encontre os números críticos das funções.
a) f(x)=5 x^{2}+4 x.
b) f(x)=x^{4 / 5}(x-4)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números críticos de duas funções. Lembre que números críticos são os pontos do domínio onde a derivada é zero ou não existe. Vamos precisar:
1. Calcular f'(x) para cada função.
2. Resolver f'(x)=0.
3. Verificar onde f'(x) não existe, mas f está definida aí.

Passo 2

Para a função
f(x)=5x^{2}+4x
calculamos a derivada usando regras básicas:
f'(x)=\frac{d}{dx}(5x^{2})+\frac{d}{dx}(4x)=10x+4.
Agora resolvemos
10x+4=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{4}{10}=-\frac{2}{5}.
Não há ponto onde f'(x) deixa de existir, pois é polinomial.

Passo 3

Para a função
f(x)=x^{4/5}(x-4)^{2}
primeiro notamos que x^{4/5}=(x^{1/5})^{4} está bem definida para todo x\in\mathbb{R}, pois a raiz quinta permite sinais.
Usamos o produto u=x^{4/5} e v=(x-4)^{2}. Então
u'=\frac{4}{5}x^{-1/5}, \quad v'=2(x-4),
e por produto
f'(x)=u'v+uv' =\frac{4}{5}x^{-1/5}(x-4)^{2} + x^{4/5}\,2(x-4).
Fatorando \;x^{-1/5}(x-4):
f'(x) =x^{-1/5}(x-4)\Bigl[\tfrac{4}{5}(x-4)+2x\Bigr] =x^{-1/5}(x-4)\Bigl(\tfrac{14}{5}x-\tfrac{16}{5}\Bigr).
Igualando a zero, vem
x-4=0\quad\Longrightarrow\quad x=4, \qquad \tfrac{14}{5}x-\tfrac{16}{5}=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{16}{14}=\frac{8}{7}.
Além disso, f'(x) não existe em x=0 por causa do termo x^{-1/5}, mas f(0)=0^{4/5}(0-4)^{2}=16 está definido. Logo x=0 também é crítico.

Resposta

a) -\tfrac{2}{5}
b) 0,\;\tfrac{8}{7},\;4

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