Exercício 3. (2,0 Pontos) Um pỏster de
de área tem margens superior e inferior de 10 cm e laterais de 6 cm . Encontre as dimensões que maximizem a área impressa.
Passo 1
O enunciado fala de um cartaz retangular de área total
que tem margens superior e inferior de
cada e margens laterais de
cada. Queremos escolher a largura
e a altura
do cartaz de modo a maximizar a área útil de impressão, ou seja, a área interna delimitada pelas margens. O conteúdo aqui é otimização com restrição de área fixa.
Passo 2
Se
e
são, respectivamente, a altura e a largura totais do cartaz, então as dimensões úteis de impressão são
Logo, a área impressa vale
Passo 3
Como a área total do cartaz é fixa, temos a restrição
Para eliminar
, isolamos
Passo 4
Substituindo em
, definimos
Para facilitar, podemos expandir:
Passo 5
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Logo
(pois
).
Passo 6
Podemos confirmar que é máximo observando a segunda derivada:
o que garante que
é um ponto de máximo.
Passo 7
Com
, a largura total é
Resposta
As dimensões do cartaz que maximizam a área impressa são