Exercício 3. (2,0 Pontos) Um pỏster de 6,000 \mathrm{~cm}^{2} de área tem margens superior e inferior de 10 cm e laterais de 6 cm . Encontre as dimensões que maximizem a área impressa.

Passo 1

O enunciado fala de um cartaz retangular de área total \,6000\text{ cm}^2 que tem margens superior e inferior de 10\text{ cm} cada e margens laterais de 6\text{ cm} cada. Queremos escolher a largura W e a altura H do cartaz de modo a maximizar a área útil de impressão, ou seja, a área interna delimitada pelas margens. O conteúdo aqui é otimização com restrição de área fixa.

Passo 2

Se H e W são, respectivamente, a altura e a largura totais do cartaz, então as dimensões úteis de impressão são
\text{altura útil} = H - 2\cdot10 = H - 20,ú
\text{largura útil} = W - 2\cdot6 = W - 12.ú
Logo, a área impressa vale
A = (H - 20)\,(W - 12).

Passo 3

Como a área total do cartaz é fixa, temos a restrição
H \,W = 6000.
Para eliminar W, isolamos
W = \frac{6000}{H}.

Passo 4

Substituindo em A, definimos
A(H) = (H - 20)\Bigl(\frac{6000}{H} - 12\Bigr).
Para facilitar, podemos expandir:
A(H) = 6000 - 12H - \frac{120000}{H} + 240 = 6240 - 12H - \frac{120000}{H}.

Passo 5

Para encontrar o máximo, derivamos em relação a H e igualamos a zero:
A'(H) = -12 + \frac{120000}{H^2} \quad\Longrightarrow\quad -12 + \frac{120000}{H^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{120000}{H^2} = 12 \quad\Longrightarrow\quad H^2 = \frac{120000}{12} = 10000
Logo
H = 100\text{ cm}
(pois H>0).

Passo 6

Podemos confirmar que é máximo observando a segunda derivada:
A''(H) = -\frac{240000}{H^3} < 0 \quad\text{para }H>0,
o que garante que H=100\text{ cm} é um ponto de máximo.

Passo 7

Com H=100\text{ cm}, a largura total é
W = \frac{6000}{100} = 60\text{ cm}.

Resposta

As dimensões do cartaz que maximizam a área impressa são
H = 100\text{ cm} \quad\text{e}\quad W = 60\text{ cm}.

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