- Defina e explique o teste da segunda derivada para cálculo de máximos e mínimos locais.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos e explicarmos o teste da segunda derivada usado para identificar pontos de máximo e mínimo locais de uma função de uma variável real. O conteúdo envolve cálculo diferencial até segunda ordem: precisamos de uma função
que seja duas vezes diferenciável em um ponto crítico
.
Passo 2
Primeiro, recordamos o conceito de ponto crítico. Dizemos que
é um ponto crítico de
se
ou se
não está definida em
. Para aplicar o teste da segunda derivada, exigimos que
seja duas vezes diferenciável em
, ou seja, que
exista.
Passo 3
O teste da segunda derivada afirma:
- Se
e então tem um mínimo local em . - Se
e então tem um máximo local em .
Passo 4
Explicação intuitiva: a segunda derivada mede a concavidade de
.
- Quando
, a curva está “abrindo para cima” (concavidade positiva), formando uma taça em torno de , logo é mínimo. - Quando
, a curva está “abrindo para baixo” (concavidade negativa), formando um teto em torno de , logo é máximo.
Formalmente, podemos recorrer à expansão de Taylor em torno de:
pois o termo linear some (
). O sinal de
determina então se
sobe ou desce ao redor de
.
Passo 5
Se
mas
, o teste é inconclusivo. Nesses casos, pode-se usar derivadas de ordem superior ou recorrer ao teste da primeira derivada para caracterizar o ponto.
Resposta
O teste da segunda derivada diz que, para uma função
duas vezes diferenciável em
com
:
(a) Se , então
tem mínimo local em
.
(b) Se , então
tem máximo local em
.
(c) Se , o teste falha e é preciso outro método para classificar o ponto.
(a) Se
(b) Se
(c) Se