1. Defina e explique o teste da segunda derivada para cálculo de máximos e mínimos locais.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos e explicarmos o teste da segunda derivada usado para identificar pontos de máximo e mínimo locais de uma função de uma variável real. O conteúdo envolve cálculo diferencial até segunda ordem: precisamos de uma função f que seja duas vezes diferenciável em um ponto crítico x_{0}.

Passo 2

Primeiro, recordamos o conceito de ponto crítico. Dizemos que x_{0} é um ponto crítico de f se
f'(x_{0}) = 0
ou se f' não está definida em x_{0}. Para aplicar o teste da segunda derivada, exigimos que f seja duas vezes diferenciável em x_{0}, ou seja, que f''(x_{0}) exista.

Passo 3

O teste da segunda derivada afirma:
  • Se f'(x_{0}) = 0 e f''(x_{0}) > 0,então f tem um mínimo local em x_{0}.
  • Se f'(x_{0}) = 0 e f''(x_{0}) < 0,então f tem um máximo local em x_{0}.

Passo 4

Explicação intuitiva: a segunda derivada mede a concavidade de f.
  • Quando f''(x_{0})>0, a curva está “abrindo para cima” (concavidade positiva), formando uma taça em torno de x_{0}, logo é mínimo.
  • Quando f''(x_{0})<0, a curva está “abrindo para baixo” (concavidade negativa), formando um teto em torno de x_{0}, logo é máximo.
    Formalmente, podemos recorrer à expansão de Taylor em torno de x_{0}:
f(x) \approx f(x_{0}) + \frac{f''(x_{0})}{2}\,(x - x_{0})^{2},
pois o termo linear some ( f'(x_{0})=0). O sinal de f''(x_{0}) determina então se f(x) sobe ou desce ao redor de x_{0}.

Passo 5

Se f'(x_{0})=0 mas f''(x_{0})=0, o teste é inconclusivo. Nesses casos, pode-se usar derivadas de ordem superior ou recorrer ao teste da primeira derivada para caracterizar o ponto.

Resposta

O teste da segunda derivada diz que, para uma função f duas vezes diferenciável em x_{0} com f'(x_{0})=0:
(a) Se f''(x_{0})>0, então f tem mínimo local em x_{0}.
(b) Se f''(x_{0})<0, então f tem máximo local em x_{0}.
(c) Se f''(x_{0})=0, o teste falha e é preciso outro método para classificar o ponto.

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