1. Faça um resumo sobre o que é valor máximo absoluto, valor mínimo absoluto, valor máximo local e valor mínimo local.

Passo 1

O enunciado pede um resumo sobre quatro conceitos de extremos de funções: valor máximo absoluto, valor mínimo absoluto, valor máximo local e valor mínimo local. O conteúdo é de cálculo diferencial e análise de funções reais, e vamos precisar usar definições formais envolvendo desigualdades e vizinhanças de pontos no domínio.

Passo 2

Definimos uma função \displaystyle f\colon D\to\mathbb{R}, com D\subseteq\mathbb{R}. Dizemos que \displaystyle x_0\in D é ponto de valor máximo absoluto de f se
\forall x\in D,\quad f(x_0)\ge f(x).
Ou seja, em todo o domínio D, f(x_0) é o maior valor que a função atinge.

Passo 3

Analogamente, x_0\in D é ponto de valor mínimo absoluto de f se
\forall x\in D,\quad f(x_0)\le f(x).
Isso significa que f(x_0) é o menor valor que a função assume em todo o domínio.

Passo 4

Para extremos locais, restringimos a comparação a uma vizinhança de x_0. Dizemos que x_0\in D é ponto de valor máximo local de f se existe \delta>0 tal que
\forall x\in D\cap(x_0-\delta,\,x_0+\delta),\quad f(x_0)\ge f(x).
Isto é, f(x_0) é o maior valor apenas numa pequena região ao redor de x_0.

Passo 5

De forma similar, x_0\in D é ponto de valor mínimo local de f se existe \delta>0 tal que
\forall x\in D\cap(x_0-\delta,\,x_0+\delta),\quad f(x_0)\le f(x).
Ou seja, numa vizinhança de x_0, f(x_0) é o menor valor que a função assume.

Resposta

  • Valor máximo absoluto: ponto x_0\in D em que f(x_0)\ge f(x) para todo x\in D.
  • Valor mínimo absoluto: ponto x_0\in D em que f(x_0)\le f(x) para todo x\in D.
  • Valor máximo local: ponto x_0\in D em que existe \delta>0 tal que f(x_0)\ge f(x) para todo x\in D\cap(x_0-\delta,x_0+\delta).
  • Valor mínimo local: ponto x_0\in D em que existe \delta>0 tal que f(x_0)\le f(x) para todo x\in D\cap(x_0-\delta,x_0+\delta).

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