Use substituição nas integrais definidas abaixo para calculá-las.
\int_{0}^{\pi / 2} 4 \operatorname{sen}(x / 2) d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2}4\operatorname{sen}(x/2)\,dx
usando substituição. A ideia é identificar a parte interna da função composta e trocar de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Vamos fazer a troca
u = \tfrac{x}{2}.
Daí
du = \tfrac12\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = 2\,du.
Nos limites, quando x=0 temos u=0 e quando x=\pi/2 temos u=\pi/4.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int_{0}^{\pi/2}4\operatorname{sen}(x/2)\,dx = \int_{0}^{\pi/4}4\operatorname{sen}(u)\,(2\,du) =8\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Sabendo que
\int\operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u),
temos
8\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sen}(u)\,du =8\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi/4} =8\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{4})+\cos(0)\bigr).
Como \cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos(0)=1, isso dá
8\Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+1\Bigr) =8\Bigl(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) =8-4\sqrt{2}.

Resposta

8-4\sqrt{2}

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