a. Defina uma função contínua.
b. Avalie se f(x) é ou não contínua em 1 e justifique. $f(x)=\left{ \begin{array}{lll}\frac{1}{x-1} & \text { se } & x \neq 1 \\ 2 & \text { se } & x=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede:
– (a) Definir o que é uma função contínua.
– (b) Verificar se a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x-1},&x\neq1,\\\\ 2,&x=1 \end{cases}
é contínua em x=1.
O conteúdo que precisamos usar envolve a definição de continuidade em um ponto e o cálculo do limite de f(x) quando x\to1.

Passo 2

Uma função f é contínua em x_0 se, e somente se, os seguintes três itens ocorrerem simultaneamente:
  1. \lim_{x\to x_0}f(x) existe (isto é, as duas limites laterais existem e são iguais).
  2. f(x_0) está definido.
  3. \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Passo 3

Vamos calcular \displaystyle \lim_{x\to1}f(x) para o ramo x\neq1:
\lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}.
Quando x se aproxima de 1 pela direita x\to1^+, x-1>0 e o quociente tende a +\infty.
Quando x se aproxima de 1 pela esquerda x\to1^-, x-1<0 e o quociente tende a -\infty.
Portanto,
\lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}
não existe como número finito (os limites laterais são diferentes e infinitos).

Passo 4

Para que f fosse contínua em x=1, precisaríamos ter
\lim_{x\to1}f(x)=f(1).
Mas vimos que \lim_{x\to1}f(x) não existe (diverge), enquanto f(1)=2 está bem definido. Logo, a condição de continuidade falha no primeiro item (o limite não existe), e portanto f não é contínua em x=1.

Resposta

(a) Uma função f é contínua em x_0 se \lim_{x\to x_0}f(x) existe e é igual a f(x_0).
(b) A função f não é contínua em x=1, pois \lim_{x\to1}1/(x-1) diverge e, portanto, não coincide com f(1)=2.

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