\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)^{n}.
O conteúdo envolve séries geométricas infinitas com razão em módulo menor que 1. Vamos usar a fórmula da soma para séries geométricas.

Passo 2

Para uma série geométrica infinita com primeiro termo a e razão r tal que \lvert r\rvert<1, a soma é
S = \frac{a}{1 - r}.
No nosso caso, a = \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)^{0} = 1
e r = \tfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Substituindo na fórmula:
S = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{\sqrt{2}}}.
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2}:
S = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = 2 + \sqrt{2}.

Resposta

2 + \sqrt{2}

Exercícios relacionados