\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}\Bigr).
Este problema usa o conceito de série geométrica, pois cada parte é uma soma de termos de forma constante em razão.

Passo 2

Separamos a soma em duas séries geométricas independentes:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} \quad\text{e}\quad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}.

Passo 3

Para a primeira série geométrica, temos termo inicial a=1 e razão r=\tfrac12. Como |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} =\frac{a}{1-r} =\frac{1}{1-\tfrac12} =2.

Passo 4

Na segunda série, o termo geral é \bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr)^{n}, logo a=1 e r=-\tfrac{1}{5} com |r|<1. Assim,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{5^{n}} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{5}\Bigr)^{n} =\frac{1}{1-(-\tfrac{1}{5})} =\frac{1}{1+\tfrac{1}{5}} =\frac{5}{6}.

Passo 5

Somando os dois resultados:
2 + \frac{5}{6} =\frac{12}{6}+\frac{5}{6} =\frac{17}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{6}

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