Defina função e correspondência.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos, no contexto de teoria de conjuntos, o que é uma correspondência entre dois conjuntos e como essa noção se especializa no conceito de função. Para isso vamos usar a ideia de relação binária como ponto de partida.

Passo 2

Definimos uma correspondência de um conjunto A em um conjunto B como qualquer relação
R subseteq A times B
Quando (x,y)in R dizemos que “ xin A corresponde a yin B” pela correspondência R. Note que um mesmo x pode corresponder a vários y ou a nenhum.

Passo 3

Uma função f de A em B é uma correspondência especial que satisfaz a condição de unicidade e existência de imagem para cada elemento de A. Ou seja, fsubseteq Atimes B e para todo xin A existe exatamente um yin B tal que (x,y)in f. Em notação usual escrevemos y=f(x).

Passo 4

Em outras palavras, toda função é uma correspondência, mas nem toda correspondência é função, pois esta exige que cada elemento do domínio tenha uma e somente uma imagem no contradomínio, enquanto uma correspondência genérica pode associar 0, 1 ou mais imagens a um mesmo elemento.

Resposta

Uma correspondência de A em B é qualquer relação Rsubseteq Atimes B.
Uma função de A em B é uma correspondência fsubseteq Atimes B em que para cada xin A existe um único yin B com (x,y)in f, e então escrevemos y=f(x).

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