Represente graficamente cada um dos seguintes conjuntos. Se o conjunto for convexo, apresente uma prova. Se não for convexo, dê um contra-exemplo.
(x, y) mid x y >= 1 ; x>0, y>0.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano os pontos (x,y) que satisfazem
x>0, y>0, xy>=1,
e depois investigar se esse conjunto é convexo. O conteúdo essencial aqui é o estudo de epígrafos de funções e a definição de convexidade.

Passo 2

Observe que a condição xy>=1 para x>0 é equivalente a
y>=1x, x>0
Geometricamente, isso significa o conjunto dos pontos do primeiro quadrante que estão na curva hiperbólica y=1/x ou acima dela. Num esboço, desenhe a hipérbole suave no primeiro quadrante e sombree toda a região que fica acima dessa curva.

Passo 3

Para provar convexidade, note que a função
f(x)=1x,
definida para x>0, tem segunda derivada
f''(x)=2x^3>0,
ou seja, f é uma função estritamente convexa em (0,infty).

Passo 4

Uma propriedade padrão de análise convexa é que o epígrafo de qualquer função convexa é um conjunto convexo. Aqui o epígrafo de f é
(x,y)mid x>0,;y>= f(x)=(x,y)mid x>0,;y>=tfrac1x,
que coincide exatamente com o nosso conjunto. Logo, esse conjunto é convexo.

Resposta

O conjunto é a região do primeiro quadrante que está sobre a hipérbole y=1/x. Como se trata do epígrafo da função convexa f(x)=1/x, o conjunto é convexo.

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