Represente graficamente cada um dos seguintes conjuntos. Se o conjunto for convexo, apresente uma prova. Se não for convexo, dê um contra-exemplo.
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar no plano os pontos
que satisfazem
e depois investigar se esse conjunto é convexo. O conteúdo essencial aqui é o estudo de epígrafos de funções e a definição de convexidade.
Passo 2
Observe que a condição
para
é equivalente a
Geometricamente, isso significa o conjunto dos pontos do primeiro quadrante que estão na curva hiperbólica
ou acima dela. Num esboço, desenhe a hipérbole suave no primeiro quadrante e sombree toda a região que fica acima dessa curva.
Passo 3
Para provar convexidade, note que a função
definida para
, tem segunda derivada
ou seja,
é uma função estritamente convexa em
.
Passo 4
Uma propriedade padrão de análise convexa é que o epígrafo de qualquer função convexa é um conjunto convexo. Aqui o epígrafo de
é
que coincide exatamente com o nosso conjunto. Logo, esse conjunto é convexo.
Resposta
O conjunto é a região do primeiro quadrante que está sobre a hipérbole
. Como se trata do epígrafo da função convexa
, o conjunto é convexo.