Prove que a relação de indiferença é reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 1
No enunciado definimos, em um conjunto
, uma relação de preferência
que satisfaz reflexividade e transitividade. A partir dela, introduzimos a relação de indiferença
por
O objetivo é provar que
é reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja, que é uma relação de equivalência.
Passo 2
(Provar reflexividade)
Como é reflexiva, temos
Como
Logo, tomando
na definição de
, obtemos
o que mostra que
é reflexiva.
Passo 3
(Provar simetria)
Suponha . Então, por definição,
Suponha
Basta trocar os papéis de
e
para ver que
Isso prova que
é simétrica.
Passo 4
(Provar transitividade)
Suponha e
. Então
Suponha
Pela transitividade de
(
se
e
então
), obtemos
Portanto
o que mostra que
é transitiva.
Resposta
A relação de indiferença
é reflexiva, simétrica e transitiva, isto é, é uma relação de equivalência.