Prove que a relação de indiferença é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 1

No enunciado definimos, em um conjunto X, uma relação de preferência succeq que satisfaz reflexividade e transitividade. A partir dela, introduzimos a relação de indiferença sim por
forall x,yin X: xsim y iff l(xsucceq y e ysucceq xr)
O objetivo é provar que sim é reflexiva, simétrica e transitiva, ou seja, que é uma relação de equivalência.

Passo 2

(Provar reflexividade)
Como succeq é reflexiva, temos
forall xin X: xsucceq x
Logo, tomando y=x na definição de sim, obtemos
xsucceq x land xsucceq x implies xsim x,
o que mostra que sim é reflexiva.

Passo 3

(Provar simetria)
Suponha xsim y. Então, por definição,
xsucceq y e ysucceq x
Basta trocar os papéis de x e y para ver que
ysucceq x e xsucceq y implies ysim x
Isso prova que sim é simétrica.

Passo 4

(Provar transitividade)
Suponha xsim y e ysim z. Então
xsucceq y,;ysucceq x e ysucceq z,;zsucceq y
Pela transitividade de succeq ( = se asucceq b e bsucceq c então asucceq c), obtemos
xsucceq y e ysucceq z implies xsucceq z,
zsucceq y e ysucceq x implies zsucceq x
Portanto
xsucceq z e zsucceq x implies xsim z,
o que mostra que sim é transitiva.

Resposta

A relação de indiferença sim é reflexiva, simétrica e transitiva, isto é, é uma relação de equivalência.

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