Prove que a relação de preferência estrita é irreflexiva e transitiva.

Passo 1

O enunciado considera uma relação de preferência fraca succsim definida num conjunto X, que satisfaz as propriedades de reflexividade e transitividade. Definimos a relação de preferência estrita succ por
x succ y se, e somente se x succsim y e não (y succsim x) ã
O objetivo é mostrar que succ é irreflexiva e transitiva, usando apenas reflexividade e transitividade de succsim.

Passo 2

(Prova da irreflexividade)
Para todo xin X, suponha, por absurdo, que x succ x. Então, pelas definições, teríamos simultaneamente
  1. x succsim x (parte positiva de x succ x), e
  2. não l(x succsim xr) (parte negativa de x succ x).
    Mas pela reflexividade de succsim sabemos que x succsim x sempre vale. Logo obtém-se uma contradição. Concluímos que não existe x tal que x succ x, ou seja, succ é irreflexiva.

Passo 3

(Prova da transitividade)
Sejam x,y,zin X tais que x succ y e y succ z. Então, por definição de succ, temos:
  1. x succsim y e não l(y succsim xr),
  2. y succsim z e não l(z succsim yr).
    Pela transitividade de succsim em x succsim y e y succsim z segue
x succsim z
Resta mostrar que não z succsim x. Suponha, para contrapor, que z succsim x. Então, novamente pela transitividade de succsim em z succsim x e x succsim y, teríamos
z succsim y,
o que contradiz a afirmação não l(z succsim yr). Logo z succsim x é falso, e assim
x succ z
Isto prova que, sempre que x succ y e y succ z, temos x succ z, ou seja, succ é transitiva.

Resposta

A relação de preferência estrita succ é irreflexiva e transitiva.

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