Prove que a relação de preferência estrita é irreflexiva e transitiva.
Passo 1
O enunciado considera uma relação de preferência fraca
definida num conjunto
, que satisfaz as propriedades de reflexividade e transitividade. Definimos a relação de preferência estrita
por
O objetivo é mostrar que
é irreflexiva e transitiva, usando apenas reflexividade e transitividade de
.
Passo 2
(Prova da irreflexividade)
Para todo , suponha, por absurdo, que
. Então, pelas definições, teríamos simultaneamente
Para todo
-
(parte positiva de ), e - não
(parte negativa de ).
Mas pela reflexividade desabemos que sempre vale. Logo obtém-se uma contradição. Concluímos que não existe tal que , ou seja, é irreflexiva.
Passo 3
(Prova da transitividade)
Sejam tais que
e
. Então, por definição de
, temos:
Sejam
-
e não , -
e não .
Pela transitividade deem e segue
Resta mostrar que não
. Suponha, para contrapor, que
. Então, novamente pela transitividade de
em
e
, teríamos
o que contradiz a afirmação não
. Logo
é falso, e assim
Isto prova que, sempre que
e
, temos
, ou seja,
é transitiva.
Resposta
A relação de preferência estrita
é irreflexiva e transitiva.