Defina a função
como
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Pergunta a responder: achar explicitamente
.
Passo 2
Lembrete didático 1 — Teorema fundamental do cálculo (versão usada aqui):
Seja
contínua e definimos
Então o teorema diz que
é diferenciável e
Explicação simples: a derivada de uma integral com limite superior igual à variável é justamente o integrando avaliado naquele ponto. Aqui
é a variável do limite superior.
Passo 3
Lembrete didático 2 — Regra da cadeia:
Se
é diferenciável em
e
é diferenciável, então a composição
é diferenciável e
Explicação simples: derivar uma composição envolve derivar a função exterior em relação ao argumento e multiplicar pela derivada do argumento.
Passo 4
Combinação dos dois resultados (caso geral que vamos usar):
Se
, então podemos definir
(como no Teorema Fundamental). Assim
. Aplicando a regra da cadeia e o Teorema Fundamental obtemos
Ou seja: a derivada de uma integral cujo limite superior é uma função
vale o integrando avaliado em
vezes
.
Passo 5
Aplicando ao nosso problema:
Aqui
e
. Pelo passo anterior,
Substituindo
e
temos (vou deixar a simplificação explícita em seguida)
Passo 6
Calcule as partes finais:
A derivada de
em relação a
é
, ou seja
E
. Portanto
Combinando tudo: