Defina a função h(x) como h(x)=\int_{0}^{2 x} e^{-t^{2}} d t. Calcule h^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=\int_{0}^{2x} e^{-t^{2}}\,dt
e pede para calcular a derivada h'(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{(i)}\quad \text{A integral definida tem limite inferior constante }0\text{ e limite superior }2x.
\text{(ii)}\quad \text{O integrando é }e^{-t^{2}},\text{ função contínua em todo }t\in\mathbb{R}.éçãí
Pergunta a responder: achar explicitamente h'(x).

Passo 2

Lembrete didático 1 — Teorema fundamental do cálculo (versão usada aqui):
Seja f contínua e definimos
F(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt.
Então o teorema diz que F é diferenciável e
F'(u)=f(u).
Explicação simples: a derivada de uma integral com limite superior igual à variável é justamente o integrando avaliado naquele ponto. Aqui u é a variável do limite superior.

Passo 3

Lembrete didático 2 — Regra da cadeia:
Se F é diferenciável em u e u=g(x) é diferenciável, então a composição F(g(x)) é diferenciável e
\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))\cdot g'(x).
Explicação simples: derivar uma composição envolve derivar a função exterior em relação ao argumento e multiplicar pela derivada do argumento.

Passo 4

Combinação dos dois resultados (caso geral que vamos usar):
Se H(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt, então podemos definir F(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt (como no Teorema Fundamental). Assim H(x)=F(g(x)). Aplicando a regra da cadeia e o Teorema Fundamental obtemos
H'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).
Ou seja: a derivada de uma integral cujo limite superior é uma função g(x) vale o integrando avaliado em g(x) vezes g'(x).

Passo 5

Aplicando ao nosso problema:
Aqui f(t)=e^{-t^{2}} e g(x)=2x. Pelo passo anterior,
h'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).
Substituindo f e g temos (vou deixar a simplificação explícita em seguida)
h'(x)=e^{-(2x)^{2}}\cdot \frac{d}{dx}(2x).

Passo 6

Calcule as partes finais:
A derivada de \,2x em relação a x é 2, ou seja
\frac{d}{dx}(2x)=2.
E (2x)^{2}=4x^{2}. Portanto
e^{-(2x)^{2}}=e^{-4x^{2}}.
Combinando tudo:
h'(x)=2\,e^{-4x^{2}}.

Resposta

h'(x)=2e^{-4x^{2}}

Exercícios relacionados