(Trombeta de Gabriel) A superfície gerada pela rotação, em torno do eixo das abscissas, da curva y=1x(x >= 1) é conhecida como “Trombeta de Gabriel”. Mostre que:
i. O volume do sólido delimitado pela Trombeta de Gabriel é infinito;
ii. A area đa supericie e inimita;
iii. Use o item anterior para gerar uma metáfora.
Sugestüo. À área de uma superticie de revoiução è dad̃a por a(J)= 2 pi integrala^b f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2

Passo 1

O enunciado trata da “Trombeta de Gabriel”, obtida ao girar, em torno do eixo x, a curva
y = 1x, x>=1
Precisamos usar duas fórmulas de sólidos de revolução:
– Volume:
V = pi integral1^infty l[f(x)r]^2,dx
– Área da superfície:
A = 2pi integral1^infty f(x),raiz1+l[f'(x)r]^2;dx

Passo 2

Calcular o volume:
V = pi integral1^infty l(1xr)^2dx = pi integral1^infty 1x^2,dx
Como
integral1^infty 1x^2,dx = l[-1xr]1^infty = 0 - l(-1r) = 1,
segue
V = picdot 1 = pi,
ou seja, o volume é finito.

Passo 3

Calcular a área da superfície. Primeiro computamos
f'(x) = -1x^2,
logo
1 + l[f'(x)r]^2 = 1 + 1x^4
Então
A = 2pi integral1^infty 1x,raiz1+1x^4;dx >= 2pi integral1^infty 1x;dx
E sabemos que
integral1^infty 1x;dx = infty,
logo
A = infty

Passo 4

Metáfora: é como um funil que comporta uma quantidade finita de líquido (volume finito), mas cuja parede interna é tão extensiva que seria preciso tinta em quantidade infinita para pintá-la inteira (área infinita).

Resposta

i. O volume da Trombeta de Gabriel é finito e vale pi.
ii. A área da superfície é infinita.
iii. Metáfora: cabe uma quantidade finita de líquido, mas seria necessário tinta em quantidade infinita para pintar sua superfície interna.

Exercícios relacionados