(Trombeta de Gabriel) A superfície gerada pela rotação, em torno do eixo das abscissas, da curva
é conhecida como “Trombeta de Gabriel”. Mostre que:
i. O volume do sólido delimitado pela Trombeta de Gabriel é infinito;
ii. A area đa supericie e inimita;
iii. Use o item anterior para gerar uma metáfora.
Sugestüo. À área de uma superticie de revoiução è dad̃a por
i. O volume do sólido delimitado pela Trombeta de Gabriel é infinito;
ii. A area đa supericie e inimita;
iii. Use o item anterior para gerar uma metáfora.
Passo 1
O enunciado trata da “Trombeta de Gabriel”, obtida ao girar, em torno do eixo
, a curva
Precisamos usar duas fórmulas de sólidos de revolução:
– Volume:
– Volume:
– Área da superfície:
Passo 2
Calcular o volume:
Como
segue
ou seja, o volume é finito.
Passo 3
Calcular a área da superfície. Primeiro computamos
logo
Então
E sabemos que
logo
Passo 4
Metáfora: é como um funil que comporta uma quantidade finita de líquido (volume finito), mas cuja parede interna é tão extensiva que seria preciso tinta em quantidade infinita para pintá-la inteira (área infinita).
Resposta
i. O volume da Trombeta de Gabriel é finito e vale
.
ii. A área da superfície é infinita.
iii. Metáfora: cabe uma quantidade finita de líquido, mas seria necessário tinta em quantidade infinita para pintar sua superfície interna.
ii. A área da superfície é infinita.
iii. Metáfora: cabe uma quantidade finita de líquido, mas seria necessário tinta em quantidade infinita para pintar sua superfície interna.