Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa igual a 2. Desenhe os gráficos da curva dada e da reta tangente.
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
no ponto cuja abscissa é
.
Conteúdo: derivada de função composta para obter o coeficiente angular e, em seguida, aplicação da fórmula da reta tangente
Conteúdo: derivada de função composta para obter o coeficiente angular
Passo 2
Calcular a derivada
. Como
, usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Avaliar a derivada em
para obter o coeficiente angular
:
Passo 4
Encontrar a ordenada
no ponto de tangência:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 5
Montar a equação da reta usando
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Esboço qualitativo dos gráficos:
- A curva
é uma parábola voltada para baixo, com vértice em . - A reta tangente
passa por e tem inclinação bem negativa, interceptando o eixo em .
O desenho consistiria em traçar a parábola deslocada 5 unidades à esquerda e 1 para baixo, e em seguida desenhar, nesse ponto de abscissa 2, a reta de coeficiente.
Resposta
A reta tangente é