Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y=-3(x+5)^2-1 no ponto de abscissa igual a 2. Desenhe os gráficos da curva dada e da reta tangente.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
y = -3(x+5)^2 - 1
no ponto cuja abscissa é x0 = 2.
Conteúdo: derivada de função composta para obter o coeficiente angular m e, em seguida, aplicação da fórmula da reta tangente
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 2

Calcular a derivada y' = dydx. Como y = -3,(x+5)^2 - 1, usamos a regra da cadeia:
y' = -3 cdot 2,(x+5) = -6,(x+5)

Passo 3

Avaliar a derivada em x0 = 2 para obter o coeficiente angular m:
m = y'(2) = -6,(2+5) = -6 cdot 7 = -42

Passo 4

Encontrar a ordenada y0 = y(2) no ponto de tangência:
y(2) = -3,(2+5)^2 - 1 = -3 cdot 49 - 1 = -147 - 1 = -148
Portanto o ponto de tangência é (2,,-148).

Passo 5

Montar a equação da reta usando
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo m=-42, x0=2 e y0=-148:
y + 148 = -42,l(x - 2r) Longrightarrow y + 148 = -42x + 84 Longrightarrow y = -42x - 64

Passo 6

Esboço qualitativo dos gráficos:
  • A curva y = -3(x+5)^2-1 é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (-5,-1).
  • A reta tangente y = -42x - 64 passa por (2,-148) e tem inclinação bem negativa, interceptando o eixo y em -64.
    O desenho consistiria em traçar a parábola deslocada 5 unidades à esquerda e 1 para baixo, e em seguida desenhar, nesse ponto de abscissa 2, a reta de coeficiente -42.

Resposta

A reta tangente é
y = -42x - 64

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