Defina funções
de modo que seus traços sejam os conjuntos indicados abaixo. Eshoce essas curvas e indique um dominio para
em cada caso.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para definirmos funções
cujos traços (ou seja, os conjuntos de pontos que elas geram) correspondam ao conjunto
.
Esse conjunto
representa um círculo de raio 3 no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar um círculo, ou seja, como escrever uma função que, ao variar o parâmetro, percorra todos os pontos desse círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação
descreve um círculo com centro na origem
e raio 3 (já que
). Para criar uma função
que trace esse círculo, podemos usar funções trigonométricas, já que elas naturalmente descrevem movimentos circulares.
A parametrização padrão de um círculo é dada por:
Aqui,
é o parâmetro que varia, geralmente de
a
, para percorrer todo o círculo uma vez.
Passo 3
Vamos entender o que fizemos acima. As funções
e
variam entre
e
e são 90 graus (ou
radianos) deslocadas uma da outra. Ao multiplicá-las por 3, ajustamos o raio do círculo para 3.
Assim, para cada valor de
,
nos dá um ponto
no círculo de raio 3:
- Quando
, — o ponto mais à direita. - Quando
, — o ponto mais alto. - E assim por diante, completando o círculo conforme
varia de a .
Passo 4
Agora, precisamos definir o domínio da função
. Como as funções
e
são periódicas com período
, fazer
variar de
a
permitirá que tracemos todo o círculo uma vez. Portanto, podemos definir o domínio de
como:
Isso garante que ao variar
dentro desse intervalo, cobriremos todos os pontos do círculo
exatamente uma vez.
Resposta
Uma função que atende aos requisitos é
com domínio
. Essa função traça o círculo
.