Defina funções alpha:(a, b) R^2 de modo que seus traços sejam os conjuntos indicados abaixo. Eshoce essas curvas e indique um dominio para alpha em cada caso.
B=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=9;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para definirmos funções alpha: (a, b) R^2 cujos traços (ou seja, os conjuntos de pontos que elas geram) correspondam ao conjunto B = (x, y) in R^2 ; x^2 + y^2 = 9.
Esse conjunto B representa um círculo de raio 3 no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar um círculo, ou seja, como escrever uma função que, ao variar o parâmetro, percorra todos os pontos desse círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação x^2 + y^2 = 9 descreve um círculo com centro na origem (0, 0) e raio 3 (já que raiz9 = 3). Para criar uma função alpha(t) que trace esse círculo, podemos usar funções trigonométricas, já que elas naturalmente descrevem movimentos circulares.
A parametrização padrão de um círculo é dada por:
alpha(t) = (3 cos t, 3 sin t)
Aqui, t é o parâmetro que varia, geralmente de 0 a 2pi, para percorrer todo o círculo uma vez.

Passo 3

Vamos entender o que fizemos acima. As funções cos t e sin t variam entre -1 e 1 e são 90 graus (ou pi2 radianos) deslocadas uma da outra. Ao multiplicá-las por 3, ajustamos o raio do círculo para 3.
Assim, para cada valor de t, alpha(t) nos dá um ponto (x, y) no círculo de raio 3:
  • Quando t = 0, alpha(0) = (3, 0) — o ponto mais à direita.
  • Quando t = pi2, alpha(pi2) = (0, 3) — o ponto mais alto.
  • E assim por diante, completando o círculo conforme t varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Agora, precisamos definir o domínio da função alpha. Como as funções cos t e sin t são periódicas com período 2pi, fazer alpha(t) variar de 0 a 2pi permitirá que tracemos todo o círculo uma vez. Portanto, podemos definir o domínio de alpha como:
t in [0, 2pi]
Isso garante que ao variar t dentro desse intervalo, cobriremos todos os pontos do círculo B exatamente uma vez.

Resposta

Uma função que atende aos requisitos é alpha(t) = (3 cos t, 3 sin t) com domínio t in [0, 2pi]. Essa função traça o círculo x^2 + y^2 = 9.

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