Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo:
y=4-x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e fazer o esboço do gráfico da função quadrática
y=4 - x^2
Vamos usar propriedades de polinômios (domínio), análise do vértice e concavidade (imagem) e solução da equação 4 - x^2=0 (interceptos) para montar o esboço.

Passo 2

Como y=4 - x^2 é um polinômio de segundo grau, ela está definida para todo xinR.
Portanto, o domínio é
Dom;f = R

Passo 3

Para determinar a imagem, note que a parábola escrita como
y = -,x^2 + 4
tem coeficiente de x^2 negativo, logo é côncava para baixo e atinge valor máximo no vértice. O vértice ocorre em x=0, daí
yvértice = 4 - 0^2 = 4 é
Como a parábola abre para baixo, todos os valores de y são menores ou iguais a 4. Assim, a imagem é
Im;f = ,ymid y <= 4 = (-infty,4]

Passo 4

Para esboçar o gráfico, precisamos dos interceptos com os eixos.
Ao cortar o eixo x (ou seja, y=0), resolvemos
0 = 4 - x^2 Longrightarrow x^2 = 4 Longrightarrow x = pm 2
O intercepto com o eixo y ocorre em x=0, dando y=4.
Logo, o gráfico é uma parábola com vértice em (0,4), raízes em (-2,0) e (2,0), concavidade voltada para baixo.

Resposta

Domínio: R
Imagem: (-infty,4]
Gráfico: parábola de vértice em (0,4), raízes em pm2, concavidade para baixo.

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