Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo:
y=(x-2)^3+3

Passo 1

O enunciado pede, para a função
y = (x-2)^3 + 3,
que a gente encontre o domínio (todos os x que valem na função), a imagem (todos os y que ela atinge) e faça um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é função polinomial cúbica e transformações por translação (deslocamento do gráfico de y=x^3).

Passo 2

Como toda função polinomial está definida para qualquer número real, o domínio é
Domínio = R í
Para a imagem, note que se fizermos a troca t = x-2 temos y = t^3 + 3. Como t pode ser qualquer real, t^3 também varia por todo R e somar 3 não altera esse fato. Então
Ima>=m = R

Passo 3

Para esboçar o gráfico, começamos de y=x^3, cujo ponto de inflexão é (0,0) e que cresce de -infty a +infty. Em seguida aplicamos duas translações:
  1. deslocar 2 unidades para a direita (isso leva (0,0) em (2,0)),
  2. depois deslocar 3 unidades para cima (levando (2,0) em (2,3)).
O ponto de inflexão da nova curva fica em (2,3). Alguns pontos úteis:
  • em x=1, t=1-2=-1, então y=(-1)^3+3=2, ponto (1,2);
  • em x=3, t=3-2=1, então y=1^3+3=4, ponto (3,4).
O formato é o mesmo “S” de um cúbico normal, só deslocado como descrito.

Resposta

Domínio: R
Imagem: R
Gráfico: curva crescente tipo “ x^3”, deslocada 2 unidades para a direita e 3 para cima, com ponto de inflexão em (2,3), passando, por exemplo, por (1,2) e (3,4).

Exercícios relacionados