Defina funções alpha:(a, b) R^2 de modo que seus traços sejam os conjuntos indicados abaixo. Eshoce essas curvas e indique um dominio para alpha em cada caso.
E=(x, y) in R^2 ;(x-1)^2+(y-2)^2=1;

Passo 1

O enunciado quer uma função alpha:(a,b)to R^2 cujo traço seja a circunferência de centro (1,2) e raio 1, isto é
E=(x,y)in R^2mid (x-1)^2+(y-2)^2=1
O conteúdo necessário é a parametrização de circunferências por funções trigonométricas.

Passo 2

Em geral, uma circunferência de centro (x0,y0) e raio r pode ser parametrizada por
alpha(t) = l(x0 + rcos t,;y0 + rsin tr)
Aqui temos x0=1, y0=2 e r=1, então definimos
alpha(t) = l(1+cos t,;2+sin tr)

Passo 3

Mostramos que alpha(t) de fato está em E e cobre toda a circunferência. Para todo tin R,
l(alpha1(t)-1r)^2+l(alpha2(t)-2r)^2 = (cos t)^2+(sin t)^2 = 1,
logo alpha(t)in E. Por outro lado, dado qualquer (x,y)in E, existem valores de t tais que cos t=x-1 e sin t=y-2, o que mostra alpha( R)=E.

Passo 4

Basta escolher como domínio um intervalo aberto que abranja todos os t possíveis. A escolha mais simples é
(a,b)= R = (-infty,infty),
pois R é um intervalo aberto e já garante alpha( R)=E.

Resposta

alphacolon Rto R^2, alpha(t)=l(1+cos t,;2+sin tr),
com domínio (a,b)= R.

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