Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo:
y=1+x^-1

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função
y = 1 + x^-1
O conteúdo envolvido é análise de funções racionais simples, obtenção de assíntotas e estudo do comportamento de 1/x transladado verticalmente em uma unidade.

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos valores de x que tornam a expressão indefinida. Como aparece x^-1=tfrac1x, devemos ter xneq0.
Logo, o domínio é
xinRmid xneq0 = (-infty,0)cup(0,infty)

Passo 3

Para obter a imagem, isolamos x em função de y:
y = 1 + 1x Longrightarrow y - 1 = 1x Longrightarrow x = 1y-1
Aqui vemos que y-1neq0, pois caso contrário x seria indefinido. Assim,
yneq1 Longrightarrow ima>=m = Rsetminus1 = (-infty,1)cup(1,infty)

Passo 4

Para esboçar o gráfico, note que é a hipérbole básica y=1/x deslocada 1 unidade para cima.
  • Assíntotas: vertical em x=0 e horizontal em y=1.
  • Ramo em x>0: 1/x>0 Rightarrow y>1. Conforme xto0^+, yto+infty; conforme xto+infty, yto1^+.
  • Ramo em x<0: 1/x<0 Rightarrow y<1. Conforme xto0^-, yto-infty; conforme xto-infty, yto1^-.
    Pontos notáveis: (1,2) e (-1,0).

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty)
Imagem: (-infty,1)cup(1,infty)
Gráfico: hipérbole com assíntotas x=0 e y=1, ramo em x>0 acima de y=1 e ramo em x<0 abaixo de y=1.

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